精品解析：上海市宜川中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

宜川中学2023学年第一学期高一年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设集合，集合，则___________. 2. 不等式的解集为____． 3. 若，则________. 4. 已知圆心角为扇形面积等于，则该扇形的弧长为______. 5. 历史上著名的狄利克雷函数，那么___________． 6. 已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为___________． 7. 已知函数图像关于点中心对称，则点的坐标是__________． 8. 已知，是第三象限角，则_____. 9. 已知，且，则实数m的值为___________． 10. 已知函数，且，则实数m的取值范围是______. 11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________． 12. 已知函数和的表达式分别为，，设，现有如下四个命题： ①对任意实数，且，都有； ②存在实数，且，都有； ③存在实数，且，都有； ④对任意实数,存在，，且，使得. 其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号） 二．选择题（共18分 第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A B. C. D. 14. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A. B. C. D. 15. 下列命题中，真命题为（ ） A. 若点为角终边上一点，则 B. 同时满足，的角有且只有一个 C. 如果角满足，那么角是第二象限的角 D. 的解集为 16. 存函数，满足对任意都有（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本题共5大题，满分78分 ） 17 已知集合，． （1）若，求； （2）“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 18. 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，. （1）若，求A和外接圆半径R的值； （2）若三角形的面积，求c. 19. 学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. （1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； （2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 20. 已知函数． （1）判断函数f (x)的单调性，并用定义给出证明； （2）解不等式：； （3）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围． 21. 如果实数，且满足，则称x、y为“余弦相关”的. （1）若，请求出所有与之“余弦相关”的实数； （2）若两数、为“余弦相关”的，求证：； （3）若不相等的两数、为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数，使得x、z为“余弦相关”的，y、z也为“余弦相关”的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜川中学2023学年第一学期高一年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设集合，集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合，集合，直接求并集即可. 【详解】由集合，集合， 则. 故答案为： 2. 不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项通分，等价变形整式不等式，进而可求解. 【详解】不等式等价于，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式可知. 【详解】 故答案为. 【点睛】本题考查根据诱导公式求值，属于简单题型. 4. 已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长及面积公式带入即可. 【详解】扇形面积， 解得 再通过弧长公式. 故答案为： 5. 历史上著名的狄利克雷函数，那么___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入即可得出答案. 【详解】因为，所以， . 故答案为：1. 6. 已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出关于实数n的方程，解之即可得出答案. 【详解】一元二次方程的两个实根分别为， 所以， 所以，解得. 故答案为：.