7.2定义与命题——定理与证明 课件 2023-2024学年北师大版数学八年级上册

第七章 平行线的证明 定理与证明 数学（BS）版八年级上册 ⁠ 公理、定理及证明 1.公认的真命题称为 　公理　 ⁠，演绎推理的过程称为 　证明　 ⁠，经过证明的真命题称为 　定理　 ⁠． 公理　 证明　 定理　 新课学习 例1 下列句子中，是定理的是 　②③⑤　 ⁠，是公理的是 　①　 ⁠，是定义的是 　④　 ⁠．(填序号) ①若a＝b，b＝c，则a＝c；②对顶角相等；③全等三角形的对应边相等，对应角相等；④满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数；⑤两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等． ②③⑤　 ①　 ④　 2.命题、定理、公理的关系如下： ①公理是真命题；②定理是由基本定义和公理推出来的真命题；③真命题是公理；④真命题一定是定理．其中正确的有（　B　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 例2 证明定理“同角的补角相等”． 已知：∠1和∠2分别是∠3的补角． 求证： 　∠1＝∠2　 ⁠． 证明：∵∠1，∠2是∠3的补角(已知)， ∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(补角的定义)． ∴∠1＝∠2(等量代换)． ∠1＝∠2　 3.证明定理“同角的余角相等”． 已知：∠1和∠2分别是∠3的余角． 求证： 　∠1＝∠2　 ⁠． 证明：∵∠1，∠2是∠3的余角(已知)， ∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°(余角的定义)． ∴∠1＝∠2(等量代换)． ∠1＝∠2　 例3 完成下列命题的证明． 命题：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，OC平分∠AOB，CP⊥OA于点P，CQ⊥OB于点Q. 求证： 　CP＝CQ　 ⁠． CP＝CQ　 证明：∵OC平分∠AOB(已知)， ∴∠COP＝∠COQ(角平分线的定义)． ∵CP⊥OA，CQ⊥OB(已知)， ∴∠CPO＝∠CQO＝90°(垂直的定义)． ∵OC＝OC(公共边)， ∴△CPO≌△CQO(AAS)． ∴CP＝CQ(全等三角形的对应边相等)． 4.写出下列命题的已知、求证，并完成证明． 命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：“等角对等边”)． 已知：如图，在△ABC中， 　∠B＝∠C　 ⁠． 求证： 　AB＝AC　 ⁠． ∠B＝∠C　 AB＝AC　 证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D． ∴∠ADB＝∠ADC＝90°(垂直的定义)． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(AAS)．∴AB＝AC． 1．下列命题不是公理的是（　C　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等 C 基础巩固 2．“两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直”这个语句是（　A　） A．定义 B．命题 C．公理 D．定理 A 3．在证明过程中可以作为推理根据的是（　B　） A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理 C．命题 D．真命题 B 4．某工程队在修建兰宁高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（　C　） A．直线的公理 B．直线的公理或线段最短公理 C．线段最短公理 D．平行公理 C 5．下列说法不正确的是（　A　） A．若∠1＝∠2，则∠1，∠2是对顶角 B．若∠1，∠2都是直角，则∠1＝∠2 C．若∠1＝∠2，则∠1＋∠3＝∠2＋∠3 D．若∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠2 A 6．关于“垂线段最短”，有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是定理．其中正确的说法是（　B　） A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②④ B 7．请你完成命题“邻补角的角平分线互相垂直”的证明．已知：如图，AB，CD相交于点O，OE，OF分别平分∠AOC，∠AOD． 求证： 　OE⊥OF　 ⁠． OE⊥OF　 证明：∵OE平分∠AOC，OF平分∠AOD(已知)， ∴∠AOE＝ ∠AOC，∠AOF＝ ∠AOD(角平分线的定义)． ∵∠AOC＋∠AOD＝180°(平角的定义)， ∴∠EOF＝∠AOE＋∠AOF＝ ∠AOC＋ ∠AOD＝ (∠AOC＋∠AOD)＝ ×180°＝90°(等量代换)． ∴OE⊥OF(垂直的定义)． 8．【拓展题】判断命题“全等三角形对应边上的中线相等”是真命题还是假命题．若是真命题，请给予证明(要求写出已知，求证和画出图形)；若是假命题，则请举出反例． 解：真命题． 已知：如图，△ABC ≌△A1B1C1 ，AD，A1D1 分别是对应边BC，B1C1 的中线． 求证：AD＝A1D1 . 证明：∵△ABC ≌△A1B1C1 ， ∴AB＝A1B1 ，BC＝B1C1 ，∠B＝∠B1 . ∵BD＝BC ，B1D1＝B1