精品解析：上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

七宝中学2023学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程为_______. 2. 直线：与直线：的夹角的大小为______． 3. 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________． 4. 若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为______． 5. 四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面ABC相交的概率是______． 6. 某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为___． 7. 在数列中，，，若，则正整数____________． 8. 已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则_____． 9. 已知数列是首项为，公差为d的等差数列，其前n项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和为__． 10. 费马定理是几何光学中一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则______． 11. 在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成图形的面积为______． 12. 如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若平面ABCD，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有______（写出所有真命题的序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13. 设直线与圆相交于A、B两点，则的值可能是（ ） A. 3.5 B. 5 C. 6.5 D. 7 14. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 15. 设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 若A、B互斥事件，则 C. D. 若A、B是独立事件，则 16. 设是等差数列的前n项和，若对任意，恒成立，则这样的等差数列有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分） 17. 已知定点，圆O：． （1）求圆心O到点A距离； （2）若以为圆心，R为半径圆与圆O有两个不同公共点，求R的取值范围． 18. 果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求. （1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差； （2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到如下频率分布直方图. （ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数； （ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数（结果保留整数）. 19. 已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点． （1）当时，求双曲线E的左焦点到直线l的距离； （2）若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 20. 如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． （1）若等比数列的前n项和为，且，，．求证：数列具有“性质P”； （2）在（1）的条件下，若对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围； （3）如果各项均为正整数的无穷等比数列具有性质“P”，且、、、四个数中恰有两个出现在中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 21. 已知椭圆C：离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值； （3）设和的面积分别为、，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七宝中学2023学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由抛物线的标