5.1.1 数列的概念（第1课时）导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 5.1.1数列的概念 课型 新授课 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类. 3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法. 4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 一、知识填空 1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序 的一列数称为数列. 2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做 . 3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为 4.、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 点睛:(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式. (2)并不是所有的数列都有通项公式. (3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列 -1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos n 等. 5、数列的分类 类别 含义 按项的 个数 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列 常数列 各项 的数列 摆动数列 从第2项起,有些项 它的前一项,有些项 它的前一项的数列 6、数列与函数 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数, 其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an, 记为an=f(n). 另一方面,对于函数y=f(x), 如果f(n)(n∈N*)有意义, 那么 构成了一个数列{f(n)}. 二、预习自测 1.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项. 2.下列说法正确的是_(填序号). ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列; ②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列; ③数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. ④所有数列可分为递增数列和递减数列两类 ⑤.数列中的数由它的位置序号唯一确定 ⑥.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} ⑦.同一个数在数列中不可能重复出现 3.已知数列为2,4,8,16,…,写出 4.分别根据下列数列的通项公式,写出数列的前3项 (1) (2) (3) 三、典例剖析 例1.根据下列数列的通项公式,写出数列的第2项和第5项; (1) (2) . 例2. 写出以下各数列{an}的一个通项公式: (1)1,2,3,4,5… (2)2,4,6,8,… (3)1,3,5,7,9,…; (4)0,2,0,2,0,…; (5)2,4,8,16,… (6)1,4,9,16,… (7)1,,… (8)2,2,2,2,2… (9) -2,4,-6,8,-10… (10)1,-3,5,-7,9… (11)9,99,999,9999… (12)7,77,777,7777,… (13) … 总结:.根据数列的前几项写通项公式的具体思路为: (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号. (4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答 例2.已知数列的通项公式 (1)求这个数列的第10项、第15项及第21题 (2)判断440是不是这个数列的项,222呢?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由。 四、拓展 .数列增减性的判定方法 (1)作差比较法 ①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列; ②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列; ③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列. (2)作商比较法 类别 >1 0<<1 =1 an>0 递增数列 递减数列 常数列 an<0 递减数列 递增数列 常数列 例3.已知函数设数列{an}的通项公式为an=其中n∈N* (1)求证:<1 ; (2)判断{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由. 例4.(1)已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.①数列{an}中有多少项是负数?②当n为何值时,an有最小值?并求出最小值. (2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)()n(n∈N*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最