2024年中考数学一轮专题复习：圆与二次函数结合型压轴题

2024年中考数学一轮专题复习：圆与二次函数结合型压轴题 1．如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明． 2．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）试判断点C与⊙D的位置关系； （2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．    3．已知点在抛物线上，若以为圆心的圆与轴有两个交点，且两点的横坐标是关于的方程的两根． （1）当在抛物线上运动时，在轴上截得的弦长是否变化？为什么？ （2）若与轴的两个交点和抛物线的顶点构成一个等腰三角形，试求的值． 4．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标． 5．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为，与y轴负半轴交于点，其对称轴是直线． (1)求二次函数的解析式； (2)圆为的外接圆，点E是延长线上一点，的平分线交圆于点D，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，与“蛋圆”中的抛物线 交于B，C两点． (1)求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长． (2)“蛋圆”上是否存在点P使是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)如图2，E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结AE，AB，BE，设AE与BC交于F，的面积记为，△ABF的面积记为，求的最小值． 7．已知抛物线过点，顶点为M，与x轴交于A，B两点，如图所示以为直径作圆，记作． (1)由题意可得抛物线的解析式为______________，D点坐标为___________； (2)猜测直线与的位置关系，并证明你的猜想； (3)在抛物线第一象限的对称轴上是否存在点P，若将线段绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由． 8．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C． (1)求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式； (2)如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标； (3)如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F； ①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； ②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标． 9．如图所示，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线对称轴上并且位于轴的下方，以点为圆心作过、两点的圆，恰好使得弧的长为周长的． (1)求该抛物线的解析式； (2)求的半径和圆心的坐标，并判断抛物线的顶点与的位置关系； (3)在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线的顶点为，且经过点．以坐标原点为圆心的圆的半径，于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求证：直线与相切． (3)已知为抛物线上一动点，线段交于点．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． 11．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A为（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C（0，﹣2），其对称轴是直线x＝． (1)求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式； (2)圆O′经过点△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O′于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积； (3)在（2）的条件下，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上是否存在点P，使得∠PDB＝∠C