2024年苏科版中考数学一轮复习提优几何模型1：”8“字模型与”飞镖模型“

冲刺中考 中考提优几何模型之 “8”字模型与 “飞镖”模型 几何专题之：“8”字模型与“飞镖”模型 模型一：角的八字模型 如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC. 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 证明如下：由三角形的内角和为180°可知： ∠A+∠D+∠AOD=180°，∠B+∠C+∠BOC=180°， ∴∠A+∠D+∠AOD=∠B+∠C+∠BOC ∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等） ∴∠A+∠D=∠B+∠C. ☆“8”字模型的推广： 已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则：∠P=(∠B+∠D) 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D，则∠P=(∠B+∠D) 典型例题： 例1：观察图形，计算角度： （1） 如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= . （2） 如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 例2：（1）如图①，∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= . （2）如图②，∠CA+D∠B+∠ACE+∠D+∠E= . 作业训练 1.如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（  ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 2.如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 3.如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为　　 A．62° B．152° C．208° D．236° 4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__． 5.如图，____________． 6.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 7.阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 模型二：飞镖模型 如图所示，有结论： ∠C=∠A+∠B+∠D 证明如下： 方法一：如图所示，连接AC并延长， 由三角形的外角定理可知： ∠BCP=∠BAC+∠B①，∠DCP=∠DAC+∠D②， ①+②得： ∠BCP+∠DCP=∠BAC+∠DAC+∠B+∠D，即 ∠BCD=∠A+∠B+∠D 方法二：如图所示，延长BC交AD于点P， 由三角形的外角定理可知：∠CPD=∠A+∠B， ∠BCD=∠CPD+∠D，即∠BCD=∠A+∠B+∠D. 方法三：连接BD， 由三角形内角和为180°可知：∠BCD=180°－（∠CBD+∠CDB） ∠CBD+∠CDB=180°－（∠A+∠ABC+∠ADC） ∴∠BCD=180°－[180°－（∠A+∠ABC+∠ADC）] 即∠BCD=∠A+∠ABC+∠ADC ☆“飞镖”模型的推广： 已知线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O= (∠A+∠C). 证明：由飞镖模型可得： ∠C=∠ABC+∠ADC+∠A， ∠O=∠ABO+∠ADDO+∠A =（∠ABC+∠ADC）+∠A =（∠C-∠A）+∠A = (∠A+∠C) 典型例题： 例1：如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系. 例2：如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 例3：如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= . 作业训练 1.如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1