数列的通项公式 导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列的通项公式 1、 学习目标 1、 利用公式法求数列的通项公式 2、 利用数列的前n项和求通项公式 3、 累加法求数列的通项公式 4、 累乘法求数列的通项公式 5、 待定系数法求数列的通项公式 6、 对数法、倒数法求数列的通项公式 7、 数学归纳法求数列的通项公式 2、 学习三点 重点：公式法、待定系数法、前n项和 难点：累乘法、数学归纳法 易错点：首项的讨论、公式的验证 3、 教学过程 （1） 用笔思考 1、 已知数列为等差数列或等比数列，如何求该数列的通项公式？ 2、 已知Sn=f(an)或Sn=f(n)如何求an? 3、 已知数列相邻两项的差是关于n的式子，且该式子可求和，如何求该数列的通项公式？ 4、 已知数列相邻两项的商是关于n的式子，且该式子可求积，如何求该数列的通项公式？ 5、 常见的可用待定系数法求数列通项的类型有哪些？试推导一次型和指数型的通项公式？ 6、 试用倒数法和对数法推导两种特殊类型的数列？ 7、 梳理归纳法的过程？数学归纳法适合推导哪些类型的数列？ （二）知识梳理 1、利用前n项和推导数列通项 第一步,利用Sn满足的条件,写出当n≥2时,Sn-1的表达式; 第二步,利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式; 第三步,若求出了n≥2时{an}的通项公式,再根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并,若不成立,则写成分段形式. 2.累加（累乘法） （1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式 ① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和 ② 的系数相同，且为作差的形式 （2）累乘法：如果递推公式形式为：，且右边可以求积，则可利用累乘法求通项公式 3.待定系数法构造数列求通项 （1）an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0) 第一步,假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t); 第二步,由待定系数法,解得t=; 第三步,写出数列an+的通项公式; 第四步,写出数列{an}的通项公式. （2） 此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成 4.数学归纳法求数列通项 先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明 一般地,证明一个与　　　　有关的命题,可按下列步骤进行:   (1)(归纳奠基)证明当n=　　　　时命题成立;   (2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=　　　　时命题也成立”.   只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法. 5.取倒数法求数列通项 形如“an＝(n≥2，n∈N*，k，m，p均为常数，m≠0)”，可在等式两边取倒数，转化为等差数列或形如“an＝kan－1＋b(k，b为常数，k≠0，k≠1，n≥2，n∈N*)”，可令an＋t＝k(an－1＋t)，结合已知条件可得t＝，构造等比数列. （三）双师导学 1、利用前n项和推导数列通项 例1 、(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足3an-2Sn=1(n∈N*),求数列{an}的通项公式; (2)在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式. 2、利用累加法累乘法求数列通项 例2 、（1）数列满足：，且，求 （2）已知数列满足：，且，求 3.待定系数法构造数列求通项 例3、（1）在数列{an}中,an+1=2an+1,a1=1,求数列{an}的通项公式. （2）在数列中，，,求数列{an}的通项公式. 4.利用数学归纳法求通项 例4、已知数列{an}满足a1=,其前n项和Sn=an. (1)求a2,a3,a4的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. 5.取倒数法求数列通项 例5、已知数列满足：，且，则数列的通项公式为_________ 学科网（北京）股份有限公司 $$