2.1.4圆-【辽海备考】2024年中考数学总复习（辽宁专用）

复习要求 1. 课标要求 （ 1 ） 理解圆、 弧、 弦、 圆心角、 圆周角的概念， 了解等圆、 等弧的概念； 探索并掌握点 与圆的位置关系 . （ 2 ） 探索并证明垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 . （ 3 ） 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系， 知道同弧 （或等弧） 所对的圆周角相等 . 了解并证明圆周角定理及其推论： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 直径 所对的圆周角是直角， 90° 的圆周角所对的弦是直径； 圆内接四边形的对角互补 . （ 4 ） 知道三角形的内心和外心 . （ 5 ） 了解直线和圆的位置关系， 掌握切线的概念， 探索切线与过切点的半径的关系， 会 用三角尺过圆上一点画圆的切线 . （ 6 ） 探索并证明切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 . （ 7 ） 会计算圆的弧长、 扇形的面积 . （ 8 ） 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 . 2. 考点分析 （ 1 ） 近几年中考中有关圆的试题难度都在降低， 必考的知识主要分布在圆的对称性 （圆 内角度、 线段相关计算）、 直线与圆的位置关系等方面， 弧长、 扇形面积、 圆锥的侧面积计 算等也经常在选择题、 填空题中出现 . （ 2 ） 由于圆的知识比较抽象， 也容易出现证明格式不规范， 不知道性质或判定定理在具 体应用时的格式， 不能把三角形、 四边形的有关知识与圆的知识有机地结合起来应用 . 知识点梳理 1. （ 1 ） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 . 圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的 直线都是它的对称轴 . 同圆或等圆的半径相等 . （ 2 ） 点和圆的位置关系： 如果圆的半径为 r ， 已知点到圆心的距离为 d ， 则可用数量关 系表示位置关系： ①d>r圳 点在圆外 . ②d=r圳 点在圆上 . ③d<r圳 点在圆内 . （ 3 ） 定理： 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等、 所对的弦相等 . （ 4 ） ① 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . ② 同弧或等弧所对的圆周角相等 . ③ 直径所对的圆周角是直角， 90° 的圆周角所对的弦是直径 . 4. 圆 130 第二部分 图形与几何 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ （ 5 ） 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 . 2. （ 1 ） 基本概念： ① 相交： 直线与圆有两个公共点时， 叫作直线与圆相交， 这时的直线叫作圆的割线 . ② 相切： 直线与圆有唯一公共点时， 叫作直线与圆相切， 这条直线叫作圆的切线， 公共 点叫作切点 . ③ 直线与圆没有公共点时， 叫作直线与圆相离 . ④ 和三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条角平分线 的交点， 叫作三角形的内心 . （ 2 ） 直线和圆的三种位置关系： 如果 ⊙O 的半径为 r ， 圆心 O 到直线 l 的距离为 d ， 那么 可用数量关系表示位置关系： ① 直线 l 和 ⊙O 相交 圳d<r. ② 直线 l 和 ⊙O 相切 圳d=r. ③ 直线 l 和 ⊙O 相离 圳d>r. （ 3 ） ① 圆的切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径 . ② 圆的切线的判定定理： 经过直径的一端， 并且垂直于这条直径的直线是圆的切线 . 3. 与圆有关的计算： （ 1 ） 弧长公式： l= nπr 180 . （ 2 ） 扇形面积公式： S 扇形 = nπr 2 360 = 1 2 lr （其中 n 为圆心角的度数， r 为半径） . 重点提示 1. 判定一条直线是圆的切线有三种方法： （ 1 ） 根据切线的定义判定： 即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线 . （ 2 ） 根据圆心到直线的距离来判定： 即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 . （ 3 ） 根据切线的判定定理来判定： 即经过直径的一端并且垂直于这条直径的直线是 圆的切线 . 2. 证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种： （ 1 ） 如果已知直线经过圆上的一点， 那么连接这点和圆心得到辅助线半径， 再证明所作 半径与这条直线垂直即可 . （ 2 ） 如果已知条件既没有给出圆上一点， 也没有指出直径上的点， 那么过圆心作直线的 垂线段为辅助线， 再证明垂线段的长度等于半径的长即可 . 131 典例导析 例 1 如图， 在 ⊙O 中， 已知半径为 5 ， 弦 AB 的长为 8 ， 那么圆心 O 到 AB 的距离为 . 【分析】 本题考查垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所 对的两条弧， 也考查勾股定理 . 作 OC⊥AB 于点 C ， 连接 OA ， 根据垂径定理 得 到 AC =BC = 1 2 AB =4 ， 然 后 在 Rt△AOC 中