1.3.3二次函数-【辽海备考】2024年中考数学总复习（辽宁专用）

复习要求 1. 课标要求 （ 1 ） 通过对实际问题的分析， 体会二次函数的意义 . （ 2 ） 能画二次函数的图象， 通过图象了解二次函数的性质， 知道二次函数系数与图象形 状和对称轴的关系 . （ 3 ） 会求二次函数的最大值或最小值， 并能确定相应自变量的值， 能解决相应的实际 问题 . （ 4 ） 知道二次函数和一元二次方程之间的关系， 会利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似解 . 2. 考点分析 （ 1 ） 二次函数是初等函数中的重要函数， 二次函数主要考查表达式、 顶点坐标、 开口方 向、 对称轴、 最大 （小） 值， 用二次函数模型解决生活实际问题 . 其中顶点坐标、 开口方向、 对称轴、 最大 （小） 值、 图象与坐标轴的交点等主要以填空题、 选择题出现 . （ 2 ） 利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题， 以解答题 形式在中考中出现： 一类是二次函数图象及性质的纯数学问题， 一类是利用二次函数性质结 合其他知识解决实际问题的题目 . 如最大利润问题、 最大面积问题是实际生活中常见的问题， 综合性强， 解题的关键在于如何建立恰当的二次函数模型， 建立正确的函数关系式， 对这一 点应该有深刻的体会 . 知识点梳理 1. 二次函数定义： 一般地， 形如 y=ax 2 +bx+c （ a ， b ， c 是常数， a≠0 ） 的函数， 叫作二 次函数 . 其中， x 是自变量， a 叫作二次项系数， b 叫作一次项系数， c 叫作常数项 . 2. （ 1 ） 二次函数 y=ax 2 的图象是一条抛物线， 当 a>0 时， 抛物线 y=ax 2 的开口向上； 当 a<0 时， 抛物线 y=ax 2 的开口向下； 顶点是原点， 对称轴是 y 轴 . （ 2 ） 抛物线 y=ax 2 +k 的特点： a>0 时， 开口向上， 最低点是顶点； a<0 时， 开口向下， 最 高点是顶点； 对称轴是 y 轴， 顶点坐标是 （ 0 ， k ） . （ 3 ） 抛物线 y=a （ x-h ） 2 的特点： a>0 时， 开口向上， 最低点是顶点； a<0 时， 开口向下， 最高点是顶点； 对称轴是直线 x=h ， 顶点坐标是 （ h ， 0 ） . （ 4 ） 抛物线 y=a （ x-h ） 2 +k 的特点： a>0 时， 开口向上， 最低点是顶点； a<0 时， 开口向下， 最高点是顶点； 对称轴是直线 x=h ， 顶点坐标是 （ h ， k ） . 3. 二次函数 86 第一部分 数与代数 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 3. 二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 的图象和性质： （ 1 ） 顶点坐标与对称轴 . （ 2 ） 位置与开口方向 . （ 3 ） 增减性与最值 . ① 当 a>0 时， 在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而减小； 在对称轴的右侧， y 随着 x 的 增大而增大； 当 x=- b 2a 时， 函数 y 有最小值 4ac-b 2 4a . ② 当 a<0 时， 在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而增大； 在对称轴的右侧， y 随着 x 的 增大而减小； 当 x=- b 2a 时， 函数 y 有最大值 4ac-b 2 4a . 4. 二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 与一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 的关系 . 重点提示 1. 二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 的图象特征与 a ， b ， c ， b 2 -4ac 的关系： 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 根的情况 二次函数 y=ax 2 +bx+c 与 x 轴的交点情况 b 2 -4ac>0 有两个不相等的实数根 有两个不同的交点 b 2 -4ac=0 有两个相等的实数根 有唯一的一个交点 b 2 -4ac<0 无实数根 无交点 系数的符号 a 的符号 a>0 图象的特征 抛物线开口向上 b 的符号 a<0 抛物线开口向下 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧 b=0 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧 抛物线的对称轴是 y 轴 b 2 -4ac<0 抛物线与 x 轴没有交点 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧 c 的符号 c>0 抛物线与 y 轴交于 x 轴上方 c=0 抛物线与 y 轴交于原点 c<0 抛物线与 y 轴交于 x 轴下方 b 2 -4ac 的符号 b 2 -4ac>0 抛物线与 x 轴有两个交点 b 2 -4ac=0 抛物线与 x 轴有一个交点 a>0 b>0 b<0 a<0 b>0 b<0 87 2. 二次函数表达式的表示法： 一般式： y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） . 顶