1.3.2反比例函数-【辽海备考】2024年中考数学总复习（辽宁专用）

复习要求 1. 课标要求 （ 1 ） 结合具体情境体会反比例函数的意义， 能根据已知条件确定反比例函数的表达式 . （ 2 ） 能画出反比例函数的图象， 根据图象和表达式 y= k x （ k≠0 ） 探索并理解 k>0 和 k<0 时图象的变化情况 . （ 3 ） 能用反比例函数解决简单的实际问题 . 2. 考点分析 （ 1 ） 要根据具体情境确定函数表达式， 并会判定其是否为反比例函数， 另外要会用 “待 定系数法” 确定反比例函数的表达式， 关键是确定反比例函数的方法与不同题型的分析解决 技巧， 此类试题在中考中经常与一次函数相结合命题 . （ 2 ） 反比例函数图象的有关特点， 其核心是通过分析反比例函数图象上的点与坐标轴构 成的四边形、 三角形的面积与 k 值的关系， 关键是这一关系的灵活应用， 应用图象求不等式 或不等式组的解集在中考中也经常出现 . （ 3 ） 应用反比例函数的相关知识解决实际问题， 其核心是通过确定反比例函数的解析式 来解决相关的实际问题， 关键是反比例函数的图象及其性质在实践中的应用， 此类试题在中 考中多与物理学科中的知识相联系， 如压力与压强、 受力面积的关系， 电压、 电流与电阻的 关系 . 知识点梳理 1. 反比例函数的概念： 一般地， 形如 y= k x （ k 为常数， k≠0 ） 的函数， 叫作反比例函 数， 即 y 是 x 的反比例函数 . （ x 为自变量， y 为因变量， 其中 x 不能为 0 ） 2. 反比例函数的等价形式： y 是 x 的反比例函数 圳y= k x （ k≠0 ） 圳y=kx -1 圳xy=k （ k≠0 ） 圳 变量 y 与 x 成反比例， 比例系数为 k. 3. 反比例函数的性质： （ 1 ） 当 k>0 时， 双曲线的两支分别位于第一、 第三象限； 在每个象限内， y 随 x 的增 大而减小 . （ 2 ） 当 k<0 时， 双曲线的两支分别位于第二、 第四象限； 在每个象限内， y 随 x 的增 大而增大 . 2. 反比例函数 78 第一部分 数与代数 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★ （ 3 ） 双曲线的两支会无限接近坐标轴 （ x 轴和 y 轴）， 但不会与坐标轴相交 . 4. 反比例函数图象的几何特征： （如图 1 、 图 2 所示） 点 P （ x ， y ） 在双曲线上都有 S 矩形 OAPB =|xy|=|k| ， S △AOB = 1 2 |xy|= 1 2 |k|. 重点提示 1. 将反比例函数的图象绕原点旋转 180° 后， 能与原来的图形重合， 即反比例函数是中心 对称图形， 对称中心是坐标原点； 反比例函数也是轴对称图形， 对称轴是直线 y=x 或 y=-x. 2. 反比例函数的图象既不能与 x 轴相交， 也不能与 y 轴相交， 但是当 x 的值越来越接近 于 0 时， y 的绝对值将逐渐变得很大； 反之， y 的绝对值将逐渐接近于 0. 因此， 图象的两个 分支无限接近 x 轴和 y 轴， 但永远不会与 x 轴和 y 轴相交 . 典例导析 例 1 如图， A 为双曲线上一点， 过 A 作 AC⊥x 轴， 垂足为 C ， 且 S △AOC =2. （ 1 ） 求该反比例函数的表达式 . （ 2 ） 若点 （ -1 ， y 1 ）， （ -3 ， y 2 ） 在双曲线上， 试比较 y 1 ， y 2 的大小 . 【分析】 本题意在考查反比例函数解析式的求法以及利用反比例函数的性质解题 . 注意本 题虽然求不出点 A 的坐标， 但由 △AOC 的面积可求出 k 的值 . 第 （ 2 ） 小题中比较 y 1 ， y 2 的 大小， 除了用反比例函数的性质外， 也可以利用函数的图象或直接求出 y 1 ， y 2 的值 . 【参考答案】 解： （ 1 ） 设所求函数表达式为 y= k x ， A 点坐标为 （ x ， y ）， ∴OC=x ， AC=y. ∵S △AOC = 1 2 OC · AC= 1 2 xy=2 ， 即 xy=4 ， ∴k=xy=4. ∴ 所求的函数表达式为 y= 4 x . （ 2 ） ∵k=4>0 ， 所以在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 . ∵-1>-3 ， ∴y 1 <y 2 . 例 2 如图， 已知一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=- 8 x 的图 象交于 A ， B 两点， 且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是 -2 ， 求： （ 1 ） 一次函数的表达式 . （ 2 ） △AOB 的面积 . x y O A B P x y O A B P 图 1 图 2 x y O A C x y O A B C 79 【分析】 本题意在考查函数图象上的点的坐标与函数表达式之间的关