1.2.4一元二次方程-【辽海备考】2024年中考数学总复习（辽宁专用）

复习要求 1. 课标要求 （ 1 ） 理解配方法 ， 能用配方法 、 公式法 、 因式分解法解数字系数的一元二次方程 . （ 2 ） 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 . （ 3 ） 了解一元二次方程的根与系数的关系 . 2. 考点分析 （ 1 ） 能根据不同的一元二次方程的特点 ， 选用恰当的方法求解 ， 使解题过程简单合理 ， 既提高准确性 ， 又能节省考试时间 . （ 2 ） 熟悉掌握列方程解决实际问题的一般步骤 . （ 3 ） 熟悉具体问题的数量关系 ， 能根据问题的实际意义列出一元二次方程 ， 此类问题为 中考中出现频率较高的试题 . 知识点梳理 1. 只含有一个未知数 ， 并且所含未知数的最高次数是 2 的整式方程叫作一元二次方程 . 2. 一元二次方程的一般形式 ： ax 2 +bx+c=0 （ a ， b ， c 为常数 ， a≠0 ）， 它的二次项 、 一次 项 、 常数项分别为 ax 2 ， bx ， c ； 二次项系数为 a ， 一次项系数为 b. 3. 直接开平方法 ： 对于形式如 （ x+m ） 2 =n （ n≥0 ） 的方程 ， 根据平方根的意义 ， 两边同 时开平方 ， 变形为 x+m=± n 姨 ， 得到两个一次方程 ， 解一次方程得到未知数的值 . 4. 用配方法解一元二次方程的步骤 ： （ 1 ） 把方程化成一元二次方程的一般形式 . （ 2 ） 将二次项系数化成 1. （ 3 ） 把常数项移到方程的右边 . （ 4 ） 两边加上一次项系数一半的平方 . （ 5 ） 把方程转化成 （ x+m ） 2 =n 的形式 . （ 6 ） 两边开方求根 . 5. 公式法 ： 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 的求根公式为 x= -b± b 2 -4ac 姨 2a （ b 2 -4ac≥ 0 ）， 步骤如下 ： （ 1 ） 把方程化为一般形式 ， 进而确定 a ， b ， c 的值 （ 注意符号 ） . （ 2 ） 求出 b 2 -4ac 的值 （ 先判别方程是否有根 ） . 4. 一元二次方程 46 第一部分 数与代数 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★ （ 3 ） 在 b 2 -4ac≥0 的前提下 ， 把 a ， b ， c 的值代入求根公式 ， 求出 -b± b 2 -4ac 姨 2a 的值 ， 最后写出方程的根 . 6. 因式分解法一般步骤如下 ： （ 1 ） 整理方程使其右边化为 0. （ 2 ） 把方程左边分解成两个一次因式的乘积 . （ 3 ） 令每个因式分别等于 0 ， 得到两个一元一次方程 . （ 4 ） 解这两个一元一次方程 ， 它们的解就是原方程的解 . 7. 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 的根的判别式 ： （ 1 ） 当 b 2 -4ac>0 时 ， 方程有两个不相等的实数根 . （ 2 ） 当 b 2 -4ac=0 时 ， 方程有两个相等的实数根 . （ 3 ） 当 b 2 -4ac<0 时 ， 方程没有实数根 . 重点提示 1. 一元二次方程的二次项系数 a 必须不等于 0 ， 否则它就不是一元二次方程 . 2. 应用直接开平方法时 ， 因为正数的平方根有两个且互为相反数 ， 所以在用直接开平方 法时要防止丢根 . 3. 一元二次方程的解法 ： （ 1 ） 直接开平方法 ； （ 2 ） 配方法 ； （ 3 ） 公式法 ； （ 4 ） 因式 分解法 . 在四种解法中 ， 根据实际情况优先选择顺序依次为直接开平方法 、 因式分解法 、 公 式法 、 配方法 . ［ 注意 ： 在运用配方法解一元二次方程时 ， 一般先将二次项系数化为 1 ； 在运 用公式法解一元二次方程时 ， 必须先将方程化为 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ） 的形式 ， 同时判断 b 2 - 4ac 是否为非负数 ， 只有当 b 2 -4ac≥0 ， 才可用公式 x= -b± b 2 -4ac 姨 2a 求解 ］ 典例导析 例 1 方程 x 2 -5x=0 的解是 （ ） A. x 1 =0 ， x 2 =-5 B. x=5 C. x 1 =0 ， x 2 =5 D. x=0 【 分析 】 本题考查因式分解法解一元二次方程 ， 当方程的左边能因式分解时 ， 一般情况 下是左边的式子因式分解 ， 再利用积为 0 的特点解出方程的根 . 本题方程左边两项中都含有 公因式 x ， 所以可用提公因式法进行因式分解 ， 即得 x （ x-5 ） =0. 【 参考答案 】 C 例 2 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 -2x-1=0 有两个不相等的实数根 ， 则实数 k 的取值范 围是 （ ） A. k>-1 B. k<1 且