北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷

丰台区2023~2024学年度第一学期期末练习 高三数学 2024.01 本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题(共40分) 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.已知集合,,,则 (A) (B) (C) (D) 2.若,则 (A) (B)1 (C) (D)2 3.在的展开式中,的系数为 (A) (B)120 (C) (D)60 4.在中国文化中,竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代,早在新石器时代晚期,人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品,比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料,这九种竹筒的容积(单位:L)依次成等差数列,若,,则 (A)5.4 (B)6.3 (C)7.2 (D)13.5 5.已知直线与圆相切,则 (A) (B) (C) (D) 6.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是A C B O x y 2 2 2 (A) (B) (C) (D) 7.在某次数学探究活动中,小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接,然后他又将三角板折起,使得二面角为直二面角,得图2所示四面体.小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断:①平面;②平面;③平面平面;④平面平面.其中判断正确的个数是 图1 图2 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 8.已知是两个不共线的单位向量,向量().“,且”是“”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.在八张亚运会纪念卡中,四张印有吉祥物宸宸,另外四张印有莲莲.现将这八张纪念卡平均分配给4个人,则不同的分配方案种数为 (A)18 (B)19 (C)31 (D)37 10.已知函数,当时,记函数的最大值为,则的最小值为 (A)3.5 (B)4 (C)4.5 (D)5 第二部分 非选择题(共110分) 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。 11.双曲线的渐近线方程为_. 12.已知,则_. 13.矩形中,,,且分为的中点,则_.O M P x y 14.如图,在平面直角坐标系中,角的始边为 轴的非负半轴,终边与单位圆交于点,过点作轴 的垂线,垂足为.若记点到直线的距离为, 则的极大值点为_,最大值为_. 15.在平面直角坐标系内,动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4.记动点的轨迹为曲线,给出下列四个结论: ①曲线过原点; ②曲线是轴对称图形,也是中心对称图形; ③曲线恰好经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点); ④曲线围成区域的面积大于. 则所有正确结论的序号是_. 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本小题14分) 在 中,,. ( )求的大小; ( )在下列三个条件中选择一个作为已知,使 存在且唯一确定,并求出边上的中线的长度. 条件①:;条件②: 的周长为;条件③: 的面积为. 注:如果选择的条件不符合要求,第( )问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 17.(本小题14分) 如图,四棱锥的底面为正方形,底面,,点为中点. ( )求证:// 平面; ( )点为棱上一点,直线与平面所成角的正弦值为,求的值. Q C B E P D A 18.(本小题13分) 2023年冬,甲型流感病毒来势汹汹.某科研小组经过研究发现,患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异.在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 频率/组距 频率/组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 5 10 15 20 25 指标 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 15 20 25 30 35 40 指标 0 患病者 未患病者 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值,将该指标小于的人判定为阳性,大于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为;误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为.假设数据在组内均匀分布,用频率估计概率. ( )当临界值时,求漏诊率和误诊率; ( )从指标在区间样本中随机抽取2人,记随机变量为未患病者的人数,求的分布列和数学期望; ( )在该地患病者占全部人口的5%的情况下,记为该地诊断结果不符合真实情况的概率.当时,直接写出使得取最小值时的的值. 19.(本小题14分) 已知函数. ( )若曲线在点处的切