2.3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2024广西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·广西数学 命题点３　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 一元二次方程及其解法 １．经历估计方程解的过程； ２．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； ３．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； ４．了解一元二次方程的根与系数的关系． 要点归纳 １．一元二次方程（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，ａ≠０）必须同时满足以下三个条件： （１）是①　整式　方程；（２）只含有②　１　个未知数； （３）未知数的最高次数是③　２　． 易错警示：对于方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，只有当④　ａ≠０　时才是一 元二次方程；若 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０是一元二次方程，则必然隐含着 ⑤　ａ≠０　． ２．一元二次方程的解法（基本思路：降次） 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 ｘ２＝ｐ（ｐ≥０） ｘ＝⑥　±槡ｐ　 （ｘ＋ｎ）２＝ｐ（ｐ≥０） ｘ＝⑦　±槡ｐ－ｎ　 因式分解法 （ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝０ ｘ１＝⑧　ａ　，ｘ２＝⑨　ｂ　 ｘ（ａｘ＋ｂ）＝０ ｘ１＝⑩　０　，ｘ２＝瑏瑡　　　　 公式法 所有一元二次方程： ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ａ≠０，ｂ２－４ａｃ≥０） 求根公式为ｘ＝瑏瑢　　　　　　　　　　， 在使用求根公式时： （１）要先将一元二次方程化为一般式； （２）确定ａ，ｂ，ｃ的值时要带符号 配方法 所有一元二次方程，一般用于： 二次项系数化为 １后，一次 项系数是偶数，形如ｘ２＋２ｍｘ －ｎ＝０ ｘ＝± ｎ＋ｍ槡 ２－ｍ 易错警示：①用公式法代ａ，ｂ，ｃ的值时要注意它们的符号； ②对于方程两边含有相同因式（如２ｘ（ｘ－１）＝３（ｘ－１））的一元二次方程，切勿直接约去公 因式求解导致  丢根，正确做法是将方程化为两个因式之积为０的形式，利用因式分解法 求解． １２ 基础夯实练·广西数学 ３．根的判别式：ｂ２－４ａｃ叫作一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的判别式． ４．一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）根的情况与判别式的关系 （１）ｂ２－４ａｃ＞０方程有瑏瑣　两个不相等　的实数根； （２）ｂ２－４ａｃ＝０方程有瑏瑤　两个相等　的实数根（ｘ１＝ｘ２＝瑏瑥　　　　）； （３）ｂ２－４ａｃ＜０方程瑏瑦　没有　实数根． 由（１）、（２）知ｂ２－４ａｃ≥０方程有瑏瑧　两个　实数根． 注：由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，  若一元二次方程的二次  项系数含有字母，应注意二次项系数不为  ０这个隐含条件． ５．方程根与系数的关系 若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有两个实数根ｘ１，ｘ２，则有ｘ１＋ｘ２＝瑏瑨　　　　，ｘ１ｘ２＝瑏瑩　　　　． 【拓展】根与系数的常用变形 ｘ２１＋ｘ ２ ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２；（ｘ１－ｘ２） ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ２； （ｘ１＋ｍ）（ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２＋ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ ２； １ ｘ１ ＋１ｘ２ ＝ ｘ１＋ｘ２ ｘ１ｘ２ ． 易错警示：根据根与系数的关系求方程中字母系数的值，一定要保证方程有根． 随堂练习 １．ｘ２＋８ｘ＋　１６　＝（ｘ＋４）２；ｘ２－１２ｘ＋　３６　＝（ｘ－　６　）２． ２．请用你认为的最佳方法解下列方程． （１）ｘ２－２ｘ－４＝０； 解：由原方程得ｘ２－２ｘ＝４， 则ｘ２－２ｘ＋１＝４＋１，即 （ｘ－１）２＝５， ∴ｘ－１＝±槡５， ∴ｘ１＝１＋槡５，ｘ２＝１－槡５； （２）２ｘ２－５ｘ＋２＝０； 解：ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４×２ ×２＝９＞０， ∴ｘ＝５±槡９４ ＝ ５±３ ４ ， ∴ｘ１＝２，ｘ２＝ １ ２； （３）ｘ（ｘ－７）＝８（７－ｘ）． 解：由原方程得ｘ（ｘ－７） ＋８（ｘ－７）＝０， ∴（ｘ－７）（ｘ＋８） ＝０， ∴ｘ１＝７，ｘ２＝－８． ３．已知关于ｘ的方程ａｘ２－４ｘ＋１＝０． （１）若该方程有两个不相等的实数根，则ａ的取值范围是　ａ＜４且ａ≠０　； （２）若该方程有两个相等的实数根，则ａ的值为　４　； （３）若该方程没有实数根，则ａ的取值范围是　ａ＞４　； （４）若该方程有实数根，则ａ的取值范围是　ａ≤４　． ４．若一元二次方程ｘ２－４ｘ－２＝０的两根分别为ｘ１，ｘ２，且ｘ１＞ｘ２，则： （１）ｘ１＋ｘ２＝　　　　；　　　　　　　　（２）ｘ１·ｘ２＝　　　　； （３）１ｘ１ ＋１ｘ２ ＝　　　　； （４）ｘ２１＋ｘ ２ ２＝　　　　． ２２ 20-0:(2)-7(31-0:(4)2:(5)0