河北省张家口市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

张家口市2023—2024学年度高二年级第一学期期末考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知空间向量，若与互相垂直，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 经过两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知数列为等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的左、右焦点分别是，过作斜率为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列各项均为正数，是数列的前项和，若，则（ ） A. 8 B. 128 C. 32 D. 64 6. 在长方体中，为的中点，点为线段的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为抛物线上的动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的一个交点，且，则下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知点为圆上的动点，则下列选项正确的有（ ） A. 点在圆外 B. C. 直线与圆相离 D. 若直线为圆的切线，则 10. 已知等差数列和等比数列的各项均为正数，，且，则下列选项中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 在长方体中，四边形为正方形，为的中点，点是上的一点，且，则下列选项正确的有（ ） A. 平面 B. 为平面的法向量 C. 为平面的法向量 D. 12. 已知椭圆，过原点的直线交椭圆于两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知两条直线和相互垂直，则___________. 14. 直线过椭圆的右焦点，直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，若的斜率为1，则椭圆的方程为___________. 15. 已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为___________. 16. 圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远镜就是应用这些性质设计的.下图为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜，副镜是双曲线左支的旋转面型凸双曲面镜，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点处，但光线尚未汇聚时，又受到以为焦点的凸双曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点处.以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系.若米，凹抛物面镜的口径为米，凸双曲面镜的口径为1米，要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为___________米. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知圆，直线. （1）证明：直线恒过定点； （2）直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面，其中，为棱的中点，点满足. （1）证明：向量与向量共面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 20. 已知点是直线上一动点，定点，过点作直线的垂线与线段的中垂线交于点，动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，且，求. 21. 已知满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）已知数列前项和为，证明：. 22. 已知点在双曲线上，双曲线的离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线交双曲线于不同于点的两点