2024年中考数学专题训练——圆的综合

2024年中考数学专题训练——圆的综合 1.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连接BD, , . (1)求证: ; (2)若圆O的半径为3,求BC的长. 2.如图,⊙O的直径AB=4,∠BAC=30 ,AC交⊙O于D,D是AC的中点. (1)过点D作DE⊥BC,垂足为E,求证:直线DE是⊙O的切线; (2)求 与线段DE、BE围成的阴影面积. 3.如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连接AD. (1)求证:AD=AN; (2)若AB=8,ON=1,求⊙O的半径. 4.如图,是的直径,点在上.过点作的切线,过点作于点. (1)求证:平分; (2)连接,若,,求的长. 5.如图,的两条弦,分别连接,,交点为P. (1)求证:; (2)连接,若为的直径,,,求的长. 6.如图,的半径为1,A、B、C是上的三个点,点P在劣弧AB上,,PC平分. (1)求证:; (2)当点P位于什么位置时,的面积最大?求出最大面积. 7.如图,在 中,过半径OD中点C作AB⊥OD交⊙O于A,B两点,且 . (1)求OD的长; (2)计算阴影部分的面积. 8.如图,⊙O的直径为10,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点. (1)求证:AC•CD=PC•BC; (2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长. 9.如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且∠D=2∠CAD. (1)求∠D的度数; (2)若CD=2,求BD的长. 10.如图,AB为 的直径,点C在AB的延长线上,CD与 相切于D,过点B作 交 于点E,连接AD,AE. (1)求 的度数; (2)若 ,求BE的长. 11.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BD是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE. (1)求证:AE⊥CD; (2)已知AE=4cm,CD=6cm,求⊙O的半径. 12.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=BC,点O在AB上,经过点A的⊙O与BC相切于点D,交AB于点E. (1)求证:AD平分∠BAC; (2)若CD=1,求图中阴影部分的面积(结果保留 ). 13.如图,AB是半圆O的直径,D为BC的中点,延长OD交于点E,点F为OD的延长线上一点且满足∠B=∠F. (1)求证:CF是⊙O的切线; (2)若AB=4,∠B=30 ,连接AD,求AD的长. 14.如图,在平行四边形ABCD中,∠D=60 ,对角线AC⊥BC,⊙O经过点A,B,与AC交于点M,连接AO并延长与⊙O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB. (1)求证:EC是⊙O的切线; (2)若AD=2 ,求 的长(结果保留 ). 15.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,AM是 ACD的外角∠DAF的平分线. (1)求证:AM是⊙O的切线; (2)连接CO并延长交AM于点N,若⊙O的半径为2,∠ANC = 30 ,求CD的长. 16.如图,是一个地下排水管的横截面图,已知⊙O的半径OA等于50cm,水的深度等于25cm(水的深度指 的中点到弦AB的距离). 求: (1)水面的宽度AB. (2)横截面浸没在水中的 的长(结果保留 ). 17.如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD CD,垂足为D,AD交⊙O 于E,连接CE. (1)求证:CD 是⊙O 的切线 (2)若E是弧AC的中点,⊙O 的半径为1,求图中阴影部分的面积。 18.如图,已知,A,B是⊙O上的点,P为⊙O外一点,连结PA,PB,分别交⊙O于点C,D, (1)求证:PA=PB; (2)若∠P=60, , AOC的面积等于9,求图中阴影部分的面积. 19.如图,在 中, ,点 是边 的中点,点 是边AB上的点,以 为圆心,OA为半径的 交AB,BC,AD于点F,E,G,且点 是弧 的中点,连接OE. (1)求证:BC是 的切线; (2)若 , ,求 的半径. 20.如图,已知AB是⊙O的直径,且AB=4,点C在半径OA上(点C与点O、点A不重合),过点C作AB的垂线交⊙O于点D.连接OD,过点B作OD的平行线交⊙O于点E,交CD的延长线于点F. (1)若点E是 的中点,求∠F的度数; (2)求证:BE=2OC; (3)设AC=x,则当x为何值时BE•EF的值最大?最大值是多少? 答案 1.(1)证明:∵四边形ABCD内接于圆O, , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ ; (2)解:连接OB、OC, ∵ , ∴ , 由圆周角定理得, , ∴ 为等边三角形, ∴ . 2.(1)证明:连接OD. ∵D是AC的中点,O