2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题

2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题 2023年12月24日 1. 设是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数． 2. 已知复数，，…，，，，…，，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数，均有．求证：，． 3. 设为全体由和1构成的元数组的集合，其中为偶数．称与正交，若．记为可以从中选出元数组个数的最大值，满足选出的数组两两正交．求和的值． 4. 对有理数，若且，定义．求最大正实数，使得存在正常数满足对所有有理数成立． 5. 设，满足． （1）证明：若，则当时，． （2）若存在满足，证明． 6. 设正实数数列． （1）若收敛，求证：存在严格递增的无界正实数数列满足收敛． （2）若收敛，是否一定存在严格递增正整数数列，满足收敛，且？ 2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题 2023年12月24日 【1题答案】 【答案】证明见解析 【2题答案】 【答案】证明见解析 【3题答案】 【答案】， 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 【6题答案】 【答案】（1）证明过程见解析 （2）存，答案见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$