题型17 5类数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期与类周期综合）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型17 手把手教学答题模板之5类数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 技法05 周期与类周期的综合应用及解题技巧 技法01 分组求和的应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中的常考考点，需强加练习 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设数列满足：，记的前项和为，求. （1） （2）. 所以的前项和. 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项． (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和． 2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列为单调递增的等比数列，且，． (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足． (1)证明是等比数列；(2)若，求的前项和． 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练习 知识迁移 常见的裂项技巧： 指数型 对数型 例2．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． （1）的通项公式； （2） ∴ 1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围． 2．（2023·江苏南京·统考二模）已知数列的前项和为，，，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列的前项和满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，若成等比数列，求数列的前项和. 4．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． 5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 技法03 错位相减的应用及解题技巧 错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习 知识迁移 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 例3．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． （1）． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 也可以用万能公式求出A、B、C直接求解 1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知为数列的前项和，，且是公差为1的等差数列．正项等比数列满足，． (1)求数列的通项； (2)求数列的前项和． 2．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知两个正项数列，满足，． (1)求，的通项公式； (2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和． 3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 4．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 5．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足． (1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习 例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． （1）. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 例4-2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． （1）. （2）