6.3 空间向量的应用（十四大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

6．3 空间向量的应用 课程标准 学习目标 （1）能归纳出用向量方法解决平行与垂直问题的一般思路. （1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得距离，体会用向量方法解决距离问题的优势． （2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用于解决有关夹角问题．体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势． （1）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系. （2）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离问题． （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题． 知识点01 直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式． 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【即学即练1】（2024·高二课时练习）若向量都是直线的方向向量，则 . 知识点02 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面 知识点03 用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面； 知识点04 用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）