专题6-2 椭圆方程及其性质 （分层练）（4种题型）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（上海专用）

专题验收评价 专题6-2 椭圆方程及其性质 内容概览 A·常考题不丢分 一．椭圆的定义（共3小题） 二．椭圆的标准方程（共4小题） 三．椭圆的性质（共6小题） 四．直线与椭圆的综合（共16小题） B·拓展培优拿高分（压轴题）（14题） C·挑战真题争满分（4题） 一．椭圆的定义（共3小题） 1．（2023春•杨浦区校级期中）已知椭圆上的点到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为　　． 2．（2023春•杨浦区校级月考）若方程的系数、、可以从，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是　　．（结果用数值表示） 3．（2023春•普陀区校级月考）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　． 二．椭圆的标准方程（共4小题） 4．（2023春•黄浦区校级期中）椭圆的长轴长为 　　． 5．（2023秋•思明区校级期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 　　． 6．（2023春•金山区校级期末）已知，表示椭圆，则是的 　　条件． 7．（2023春•崇明区期末）设是椭圆的长轴，点在上，且，若，，则的两个焦点之间的距离为　　． 三．椭圆的性质（共6小题） 8．（2023•杨浦区校级模拟）“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是　　 A． B． C． D． 9．（2023•松江区模拟）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为的顶点．这样的等腰三角形的个数为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 10．（2023•徐汇区三模）如图，椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为，左、右焦点分别为，，若椭圆上第一象限的一个点满足：直线与直线的交点为，直线与轴的交点为，且射线为的角平分线，则△的面积为 　　． 11．（2023•虹口区校级模拟）如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率　　． 12．（2023•青浦区二模）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为 　　． 13．（2023•浦东新区校级模拟）以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是 　　． 四．直线与椭圆的综合（共16小题） 14．（2023•闵行区校级一模）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为． （1）若为直角三角形，求的离心率； （2）若，，点、是椭圆上不同两点，试判断“”是“、关于轴对称”的什么条件？并说明理由； （3）若，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由． 15．（2023•黄浦区校级三模）如图，已知椭圆的离心率为，点为其左顶点．过的直线交抛物线于、两点，是的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：点的横坐标是定值，并求出该定值； （3）若直线过点，其倾斜角和直线的倾斜角互补，且交椭圆于，两点，求的值，使得的面积最大． 16．（2023•长宁区校级三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点． （1）求椭圆的方程； （2）设圆．若直线与圆相切，求点的坐标； （3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴于点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由． 17．（2023•嘉定区模拟）已知曲线的左、右焦点分别为、，直线经过且与相交于、两点． （1）求△的周长； （2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程； （3）设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023•闵行区校级二模）已知椭圆过点记椭圆的左顶点为，右焦点为． （1）若椭圆的离心率，求的范围； （2）已知，过点作直线与椭圆分别交于，两点（异于左右顶点）连接，，试判定与是否可能垂直，请说明理由； （3）已知，设直线的方程为，它与相交于，．若直线与的另一个交点为．证明：． 19．（2023•嘉定区校级三模）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为，，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求△的周长； （2）求△面积的取值范围； （3）设、分别为△、△的内切圆半径，求的最大值． 20．（2023•浦东新区校级三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． （1）求△的周长； （2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值；