2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用

2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用 1．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”. （1）如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为　 　. （2）如图②，中，，，直接写出它的所有伴随圆的半径. （3）如图③，中，点在边上，，为的中点，且. ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②的值为 ▲ . 2．定义：有两边之比为的三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，为边上的中线，求的值； （2）如图2，是的内接三角形，为直径，过的中点作，交线段于点，交于点，连结交于点． ①求证：是智慧三角形； ②如图3，在（2）的条件下，当时，则＝▲ ．（直接写出结果） 3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形． （1）如图1，点是弧的中点，是弧所对的圆周角， 连接、 试说明与是偏等三角形． （2）如图2，与是偏等三角形，其中 猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角 ．请填写结论，并说明理由．(以与为例说明)； （3）如图3，内接于 若点在上，且与是偏等三角形， 求的值． 4．如图1，已知是的内接三角形，AB为直径，，D为上一点. 图1 图2 （1）当点D为的中点时，连接DB，DC，求和的大小； （2）如图2，过点D作的切线，与AB的延长线交于点P，且，连接DC，OC，求的大小. 5．定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形. （1）如图1，四边形内接于，，点C是弧的中点，连接，试说明与是偏等三角形. （2）如图2，与是偏等三角形，，，，，求的长. （3）如图3，内接于，，，，若点D在上，且与是偏等三角形，，求的值. 6．如图1，△ABC是⊙O内接三角形将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，其中点D在圆上，点E在线段AC上． （1）求证：DE=DC； （2）如图2，过点B作BF∥CD分别交AC、AD于点M、N，交⊙O于点F，连结AF．求证：AN·DE=AF·BM： （3）在(2)的条件下，若时，求的值． 7．如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1，的中线，则和就是互补三角形. （1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”） ①互补三角形一定不全等.　 　命题 ②互补三角形的面积相等.　 　命题 （2）如图2，和为互补三角形，是的中线. 求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若三点共线，连结CE，，四边形为圆内接四边形.当时，求的值. 8．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠ACB，点D平分，连接AD，BD，CD． （1）求证：AB=CD． （2）过点D作DG∥AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G． ①若AD=a，BC=b，求线段EF的长(用含a，b的代数式表示)． ②若∠ABC=72°，求证：FG2=EF·DF． 9．已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接. （1）如图1，当点在同一条直线上时，求证：. （2）如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时. ①求证：是等腰三角形； ②如图3，连并延长交于点，连接.求证：. 10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC关于直线l对称的； （2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的； （3）在（2）的案件下，求点B旋转到点所经过的路径长． 11．如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，切于点，连接，交于点，. （1）求证：是的切线； （2） ，①若，求劣弧的长； ②如图2，连接，若，直接写出的长. （参考数据：取0.4，取0.9，取0.45） 12．如图，是的内接三角形，为的直径，过点A的直线交的延长线于点E，连接，且，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求和的长度． 13．如图，为的内接三角形，为延长线上一点，，为的直径，过作交于，交于，交于． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）求证：； （3）若的直径为．，，求的值． 14．如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，. （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积. 15．如图，是等腰直角三角形，，以BC为直径作交斜边AB于点D，点M是中点，过点M作直线于点E，交AC于点F. （1）证明：