2024年中考数学第一轮复习培优（山西卷）专题七一元二次方程及应用

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第二章 方程（组）与不等式（组） 专题七 一元二次方程及其应用 1、 考点精讲 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为(a≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为． △>0方程有两个不相等的实数根； △＝0方程有两个相等的实数根； △<0方程没有实数根． (1)上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． (2)△≥0方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么 5.一元二次方程的应用 解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 数学思想：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 2、 真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题主要考查一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的应用，在命题点下拓展其他新的考查形式，形式上年年有创新，年年有新意。从山西近8年真题分析，八年九考，发现命题同样存在继承性，重点内容重点考，所以注意变式训练。 高频考点 1. 解一元二次方程 1.（2019山西中考）一元二次方程配方后可化为（　） A. B. C. D. 2.（2016山西中考）解方程: 创新考法 3.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2−ab，根据这个规则2x*(x+2)=6的解为________. 4、阅读材料：为解方程(x2−1)2−3(x2−1)=0，我们可以将x2−1视为一个整体，然后设x2−1=y，将原方程化为y2−3y=0①，解得y1=0，y2=3. 当y=0时，x2−1=0，x2=1，∴x=±1； 当y=3时，x2−1=3，x2=4，∴x=±2. 故原方程的解为x1=1，x2=−1，x3=2，x4=−2. 解答问题：(1).在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学思想；(2).利用上述材料中的方法解方程：(x2+3)2−4(x2+3)=0. 5．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 二次系数化为1，得………………………………第一步 移项，得.……………………………………第二步 配方，得，即……………………第三步 由此，可得……………………………………第四步 所以，，……………………第五步 任务： （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是，其中“配方法”所依据的一个数学公式是； （2）“第二步”变形的依据是； （3）上面小明同学解题过程中，从第____步开始出现错误，请直接写出正确的解； （4）请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见. 2. 一元二次方程根的判别式 1．（2018山西中考）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 变式、拓展 2 .关于x的一元二次方程有两个实数根，那么实数k的取值范围是( ) A. B.且 C.且 D. 3．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④存在实数m、n，使得； 其中正确的( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 3. 一元二次方程的应用 1 .（2021山西中考）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示