（精校版）江苏省数学卷文档版（有答案）-2015年普通高等学校招生统一考试

数学Ⅰ试题 参考公式 圆柱的体积公式： =Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。 圆锥的体积公式： Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。 1、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1. 已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为_______. 2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3. 设复数z满足 （i是虚数单位），则z的模为_______. 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________. 5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6. 已知向量 =（2,1）， =（1，-2），若 =（9，-8）（m，n R），则m-n的值为______. 7. 不等式 的解集为________. 8.已知 ， ，则 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。 11.数列 满足 ，且 （ ），则数列 前10项的和为 。 12.在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点。若点 到直线 的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 。 13.已知函数 ， ，则方程 实根的个数为 。 14.设向量 ，则 的值为 。 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在 中，已知 (1)求BC的长； （2）求 的值。 16.（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱 中，已知 .设 的中点为D， 求证：（1） (2) 17. （本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 ，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到 的距离分别为5千米和40千米，点N到 的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 （其中a，b为常数）模型. （I）求a，b的值； （II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式 ，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 18. （本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点F到左准线l的距离为3. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程. 19.（本小题满分16分） 已知函数 。 （1）试讨论 的单调性； （2）若 （实数c是与a无关的常数），当函数 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是 ，求c的值。 20.设 是各项为正数且公差为d 的等差数列 （1）证明： 依次构成等比数列； （2）是否存在 ，使得 依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在 及正整数 ，使得 依次构成等比数列？并说明理由。 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.2 2.6 3. 4.7 5. 6.-3 7. 8.3 9. 10. 11. 12. 13.4 14. 二、解答题 15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分。 解： （1）由余弦定理知， ， 所以 ． （2）由正弦定理知， ，所以 ． 因为 ，所以 为锐角，则 ． 因此 . 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分。 证明：（1）由题意知， 为 的中点， 又 为 的中点，因此 ． 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （2）因为棱柱 是直