精品解析：北京市海淀区2024届高三上学期期末练习数学试题

海淀区2023-2024学年第一学期期末练习 高三数学2024.01 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，直线，且，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 5. 在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ） A. B. C D. 7. 若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ） A. 10 B. C. 2 D. 8. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（ ） A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 是递增数列 D. 是递减数列 10. 蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为__________. 12. 已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为__________. 13. 已知点，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点到直线的距离为__________. 14. 已知无穷等差数列的各项均为正数,公差为,则能使得为某一个等差数列的前项和的一组,的值为__________,__________. 15. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系. 19. 已知椭圆过点，焦距为. （1）求椭圆的方程，并求其短轴长； （2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值. 20 已知函数. （1）当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； （2）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行