2024年九年级中考数学复习 二次函数培优专题—动点问题

中考培优系列——二次函数动点剖析 二次函数动点问题培优专题 · 考点一：求抛物线中三角形的面积 【考点剖析】在坐标系中求三角形面积的关键： （1）如何求出三角形的三个顶点坐标，即求交点坐标； （2）以谁为底？对应的高如何求？ 一般求三角形的面积有两种方法： （1）当三角形的边与坐标轴平行时，直接用面积公式求； （2）当三角形各边与坐标轴不平行(或重合)时，有三种方法：割补法、铅垂高法和平行切割法，如下表所示： 方法 割补法 铅垂高法 平行切割法 思路 通过“割”或“补”的方法，把待求三角形的面积转化成几个易求的面积的和差形式 面积=铅垂高×水平宽 当直线与抛物线相切时，三角形面积最大.先设直线解析式，然后与二次函数解析式联立，化为一元二次方程，利用求出未知量，然后解方程组求出切点坐标 图示 【例1】如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴相交于点，为它的顶点．求的面积． 【例2】如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点，点是抛物线上一个动点(不与点重合)，若的面积为12，则点的坐标___________. 针对训练 1．如图，抛物线经过A、B、C、三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．当的面积为3时，则点的坐标为_____________． 2． 如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点．抛物线上有一点，且，则点的坐标为__________________． 3．如图，抛物线交轴于点A和点B．与轴交于点，顶点为，点在该抛物线上，求四边形的面积． · 考点二：动点问题—线段最值 【考点剖析】这种题型一般有四步： （1）设动点P的坐标，如； （2）作PQ⊥x轴，交一次函数直线于Q点，则可得Q点坐标，如； （3）求出线段PQ的表达式.注意分两种情况讨论【易错点】： ①当P点在Q点上方时，；②当Q点在P点上方时，. (4)利用配方法把二次函数配成顶点式求出线段的最大值. 【例题】如图，点是抛物线在轴上方的部分上的动点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值． 针对训练 1．如图，点是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为 ． 2．如图，点是第四象限内二次函数的图象上任意一点，轴于点，与交于点，请问：当点的坐标为多少时，线段的长最大？并求出这个最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值． · 考点四：动点问题—特殊角 【考点剖析】这种题型需要巧妙地利用数形结合的思想将所求角转化，可从以下角度思考：（1）转移—利用对称性、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质等将所求角转移到易解的三角形中； （2）构造—利用平行线的性质构造同位角或内错角． 【例题】如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴的交于点C．若抛物线上有一点，满足，求点坐标． 针对训练 1．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 2．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过点、，与轴另一交点为，顶点为．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过点、．在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． · 考点五：动点问题—直角三角形 【考点剖析】这种题型难度较大，解题时要把握两点：（1）分类讨论，当xxx角为直角时；（2）如何找到等量关系建立方程. 【知识串联】（1）用勾股定理、两点距离公式列方程；（2）构造相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系式；（3）两直线垂直时，. 【例题】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C；在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△BPC为直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 针对训练 1．如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过轴上A、B两点，且与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，点是其顶点，连接．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，其顶点为．当是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． · 考点六：动点问题—等腰三角形 【考点剖析】这种题型为重难点题型，审题