专题15 图形的相似与位似（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（江苏专用）

专题15 图形的相似与位似 1．了解比例线段的有关概念及其性质，通过实例了解黄金分割，并会用比例的性质解决简单的问题； 2．了解相似多边形、相似三角形的概念，掌握其性质和判定，并会运用； 3．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；能利用图形的相似解决一些实际问题；通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视线及盲区的含义； 4．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质。 考点1：比例线段、黄金分割、相似三角形的判定 1.比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称 ． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2.黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的 （即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有 ． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种： ①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：； ②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的长宽之比确切值为．　 3.平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 . 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有 （1） （2） （3）=成立. （2）平行于三角形一边的直线的性质 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形 . 4.、相似三角形的判定定理 判定方法（一）： 分别相等的两个三角形相似.　 判定方法（二）：两边成比例 相等的两个三角形相似. 判定方法（三）：三边 的两个三角形相似. 5.相似三角形的常见图形及其变换： 6.三角形的重心：三角形的三条 相交于一点，这点叫做三角形的重心. 考点2：相似三角形性质与判定 1.相似三角形的概念 定义:在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， ，那么△ABC和△A′B′C′相似，记做△ABC∽△A′B′C′． 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边 . 相似三角形的对应边的比叫作相似比. 一般地，若△ABC与△A′B′C′的相似比为k,则△A′B′C′与△ABC的相似比为. 要点诠释：全等三角形是相似比为1的相似三角形.全等三角形是相似三角形的一个特例. 2.相似多边形的概念 相似多边形：对于两个边数相等的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A,B,C,D分别与点A1，B1，C1，D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 3.相似三角形的性质 （1）相似三角形周长的比等于 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比. （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽，则分别作出与的高和，则 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方. 4.相似三角形中对应线段的比 （1）相似三角形的对应角 ，对应边的比 . （2）相似三角形中的对应线段的比 相似比. （3）相似三角形对应 ，对应 ，对应 的比都等于相似比. 考点3：相似三角形的应用、位似图形 1.平行投影 一般地，用光线照射物体，