上海市闵行（文琦）中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

闵行(文琦)中学2023学年第一学期高二年级数学期末 2024.01 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知集合,,则_. 2.已知平面向量,,满足,则实数_. 3.双曲线的渐近线方程是_. 4.无论我们对函数求多少次导数,结果仍然是它本身;这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻,都要不忘初心,坚持自我,按照自己制定的目标,奋勇前行! 已知函数,则_. 5.已知抛物线上一点的横坐标是4,则点到此抛物线的焦点的距离等于_. 6.已知,,表示三个不同的平面,若,且,,则直线,的位置关系是_. 7.已知二面角的大小为,异面直线,分别垂直于,,则与所成角的大小为_. 8.设是等比数列的前项的和,且,,则_. 9.已知关于的方程的一个虚根为(其中为虚数单位),则实数_. 10.已知,是的导函数.则当时,函数的值域是_. 11.已知,则的最小值为_. 12.若数列满足,且其前16项的和为540,则首项_. 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13.下列函数是偶函数的是( ) A. B. C. D. 14.如图所示,正方体中,是线段上的动点(包含端点),则下列哪条棱所在直线与直线始终异面( ) A. B. C. D. 15.画法几何学的创始人—法国数学家加斯帕尔 蒙日发现:与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为椭圆的蒙日圆.经研究发现:椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点,则实数值为( ) A. B. C. D. 16.设是公差不为0的无穷等差数列,现有下述两个命题: ①“对任意正整数,都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件; ②“为严格递增数列”是“存在正整数,当时,总有”的充要条件.则说法正确的选项是( ) A. 命题①与②均为真命题 B.命题①为真命题,命题②为假命题 C.命题①为假命题,命题②为真命题 D.命题①与②均为假命题 三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分) 17.(本题满分14分.本题共2小题,第(1)小题7分,第(2)小题7分.) 已知四棱锥,底面为正方形,边长为3,平面. (1)求证:平面; (2)若,求直线与平面所成的角大小. 18.(本题满分14分.本题共2小题,第(1)小题8分,第(2)小题6分.) 已知等差数列的前项和为,,. (1)求数列的通项公式; (2)若等比数列的公比为,且满足,求满足的所有正整数的值. 19.(本题满分14分.本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.) 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼,某学生选、(与在同一水平面上)两处作为测量点,测得的距离为,,,在处测得大楼(大楼与水平面垂直)楼顶的仰角为. (1)求两点间的距离; (2)求大楼的高度及二面角的正切值. 20.(本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第 (3)小题满分6分) 已知椭圆,,是椭圆的左右焦点, (1)求椭圆的离心率; (2)若是椭圆上一点,三角形的面积为,求点的坐标及角的大小; (3)若过点且斜率不为0的直线交椭圆于,两点,问:轴上是否存在定点,使直线与的斜率互为相反数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 21.(本题满分18分.本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,在第(3)小题满分8分) 设函数与的定义域均为,若存在,满足且,则称函数与“局部趋同”. (1)判断函数与是否“局部趋同”,并说明理由; (2)已知函数,.求证:对任意的正数,都存在正数,使得函数与“局部趋同”; (3)对于给定的实数,若存在实数,使得函数与“局部趋同”,求实数的取值范围. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.; 12.若数列满足,且其前16项的和为540,则首项_. 【答案】 【解析】由,当为奇数时,有, 可得,...累加可得:; 当为偶数时,,可得,可得. 即,得.故答案为:7. 二、选择题 13.; 14.; 15.; 16. 15.画法几何学的创始人—法国数学家加斯帕尔 蒙日发现:与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为椭圆的蒙日圆.经研究发现:椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点,则实数值为( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由题意可知的蒙日圆方程为 因为圆与圆仅有一个公共点, 所以两圆内切或外切,故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的