上海市浦东中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

2023学年第一学期浦东中学高三数学期中试卷 2023.10.25 1、 填空题(共54分,1-6每题4分,7-12每题5分) 1.函数的定义域为 . 2.已知一个扇形的弧所对的圆心角为,半径,则扇形的弧长为 cm. 3.已知集合,则 . 4.若指数函数在区间上的最大值比最小值大,则实数 . 5.已知,若分函数为奇函数,且在上严格单调递减,则 . 6.若向量,则在方向上的投影的坐标为 . 7.已知是定义域为的奇函数,且时,,则的值域是 . 8.关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是 . 9.若正实数满足,则的最小值为 . 10.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一万斤藕,成本增加0.5万元.如果销售额函数是是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,是常数)若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕 万斤. 11.已知函数在区间上的值域为,且,则的值 . 12.若直角坐标平面内的两点满足条件:①都在函数的图象上:②关于原点对称.则称点对是函数的一对“友好点对”,(点对与看作同一对“友好点对”).已知函数且,若此函数的“友好点对”有且只有一对,则的取值范围是 . 二、选择题(共18分,每题4分,每题5分) 13.设,若是的充分条件,则实数的取值范围为( ). A. B. C. D. 14.若函数在处的导数为2,则( ). A.2 B.1 C. D.4 15.如图,函数的图像为折线,则不等式的解集是( ). A. B. C. D. 16.已知,若存在常数,使得为偶函数,则的值可以为( ) A.; B.; C. D.. 三、解答题(共78分,) 17.如图,在直三棱柱中,交于点为的中点. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的大小. 18.(6+8)已知的内角的对边分别为. (1)若的面积,求; (2)若,求. 19. 向量,令。 (1)求的周期: (2)求时,的单调递增区间; (3)求的值域. 20.已知函数. (1)解不等式; (2)若关于的方程在上有两解,求的取值范围: (3)若函数,其中为奇函数,为偶函数,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围. 21.(4+6+8)已知函数. (1)讨论函数的奇偶性; (2)若函数在处有极值,且关于的方程有3个不同的实根,求实数的取值范围; (3)记是自然对数的底数). 若对任意且时,均有成立,求实数的取值范围. 参考答案 一、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.7 10.6 11. 12. 11.已知函数在区间上的值域为,且,则的值 . 【答案】 【解析】的最小正周期,故,结合,则: ①当是的一个单调增区间时,应有, 所以,不符合题意,舍去; ②因为图象是将向左平移,则时,应该在轴右侧存在一个极大值点,故,所以此时, 得,故,解得. 故答案为:. 12.若直角坐标平面内的两点满足条件:①都在函数的图象上:②关于原点对称.则称点对是函数的一对“友好点对”,(点对与看作同一对“友好点对”).已知函数且,若此函数的“友好点对”有且只有一对,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时,函数关于原点对称的函数为, 即,, 若此函数的“友好点对”有且只有一对,则等价为函数与,只有一个交点,作出两个函数的图象如图: 若,则与,只有一个交点,满足条件, 当时,, 若,要使两个函数只有一个交点,则满足,即,得, 综上或,即实数的取值范围是, 二、选择题 13.C 14.B 15.C 16.A 15.如图,函数的图像为折线,则不等式的解集是( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知的图象,在此坐标系内作出的图象, 如图满足不等式的范围是; 所以不等式的解集是 故选:C 三.解答题 17.(1)证明略 (2)直线与平面所成角的大小为 18.(1). (2). 19.(1) (2) (3) 20.已知函数. (1)解不等式; (2)若关于的方程在上有两解,求的取值范围: (3)若函数,其中为奇函数,为偶函数,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)设,则原不等式可化为,解得分则, 故原不等式的解集为; (2),即 设,则在上有两解,故 (3)由题意得 解得 故原不等式即对恒成立, 令,不等式可化为对恒成立, 即,则 21.(4+6+8)已知函数. (1)讨论函数的奇偶性; (2)若函数在处有极值,且关于的方程有3个不同的实根,求实数的取值范围; (3)记是自然对数的底数). 若对任意且时,均有成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)为偶函数; 没有奇偶性; (2) (3) 【解析】(1)当时,,满足为偶函数; 当时,且没有奇偶性; (2)函数在处有极值