上海市洋泾中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

洋泾中学2023学年第一学期高一年级数学期末 2024.01 一．填空题（1—6题每题3分，7—10题每题4分，共34分） 1．若集合，则__________． 2．已知幂函数的图像过点，则__________． 3．当时，求的值__________． 4．已知某扇形的弧长为厘米，半径为4厘米，则圆心角的弧度数为__________． 5．函数的定义域为__________． 6．已知点在角的终边上，且，则__________． 7．方程的解为__________． 8．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围 为__________． 9．已知函数，若，则实数的取值范围是_______． 10．设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值为__________． 二．选择题（11—12题每题3分，13—14题每题4分，共14分） 11．已知，，，则“”是“”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 12．若，则的值是（ ） A． B．0 C．1 D． 13．若，则（ ） A． B． C． D． 14．已知函数，则以下4个命题： ①是偶函数；②在上是严格增函数； ③的值域为；④对于任意的正有理数，存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 三．解答题（共5题，满分52分） 15．（本小题满分8分，第1小题4分，第2小题4分） 设不等式的解集为，不等式的解集为． （1）求集合、； （2）已知全集，求． 16．（本小题满分8分，第1小题3分，第2小题5分） 已知函数． （1）求函数的值域； （2）求证：函数在上是严格减函数． 17．（本小题满分10分，第1小题3分，第2小题7分） 浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），为正常数，且第8天的打卡人数为9万人． （1）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天近似地满足下表： （天） 10 14 18 22 26 30 （元） 131 135 139 143 139 135 现给出以下三种函数模型：①，②，③．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天的关系，并求出该函数的解析式； （2）确定的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入（，为正整数）的最小值（单位：万元）． （注：日营业收入日打卡人数人均消费）． 18．（本小题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分） 已知函数． （1）求方程的解； （2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； （3）（若（，1，2，…，2021）将区间划分成2021个小区间，且满足，使得和式 恒成立，试求出实数的最小值并说明理由． 19．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分） 对于定义在区间上的函数，若（）． （1）已知，，试写出、的表达式； （2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； （3）若（），存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10. 9.已知函数，若，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】函数的图像如图： 若，则或或 解得或或综上所述,实数的取值范围是 二、选择题 11C.； 12.D； 13.A； 14.B 13.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一:由,可得, 令,则在上单调递增,且,所以,即 由于，故. 方法二:取,满足， 此时,,可排除BCD.故选:. 14.已知函数，则以下4个命题： ①是偶函数；②在上是严格增函数； ③的值域为；④对于任意的正有理数，存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①因为，所以, 所以不是偶函数,故错误; ②因为,所以在不是增函数,故错误; ③因为，显然的值域中不含负无理数, 故的值域不为,故错误; ④的零点即为有理数或为无理数, 对于为有理数,必有解,对于为无理数,必有解或无解, 故有三个零点或一个,故正确.综上所述，故选:B. 三、解答题 15.（1） （2） 16.（1） （2）证明略 17.（1）函数模型②满