上海市建平中学2023-2024学年高三上学期11月质量检测数学试题

建平中学2023学年第一学期高三年级数学质量检测 2023.11 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知全集为,集合,则_ 2.半径为3的球的体积为_. 3.已知,则在上的数量投影为_. 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为_. 5.若和是函数互异的两个零点,则的最小值为_. 6.设为复数的共轭复数,若复数满足,则_. 7.已知方程的曲线是一个菱形,以此菱形的四个顶点为顶点的椭圆方程是_. 8.已知正四棱柱的侧棱长为2,体积为6,则该正四棱柱的表面积为_. 9.关于的不等式的解集是_. 10.已知均为锐角,且,则_. 11.如图所示,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则此函数的解析式为_. 12.在空间直角坐标系中,定义点和点两点之间的“直角距离”.若和两点之间的距离是,则和两点之间的“直角距离”的取值范围是_. 二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13.已知集合,集合,则( ) A. B. C. D. 14.设,则“”是“”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件 15.设无穷数列的前项和为,若为严格增数列,则数列( ) A.所有项都大于0 B.至多有一项不大于0 C.可以有不止一项的有限项不大于0 D.可以有无穷多项不大于0 16.若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数的最大值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 三、解答题(本大题共5题,满分78分) 17.(14分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,. (1)若点分别为的中点,求证:直线平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18.(14分)已知是公比为正数的等比数列,. (1)求的通项公式; (2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前项和. 19.(14分)某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园.如图所示,为圆心,半径为1千米,点都在半圆弧上,设,其中. (1)若在花园内铺设一条参观的线路,由线段三部分组成,求当取何值时,参观的线路最长; (2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花,求当取何值时,杜鹃花的种植总面积最大. 20.(18分)已知分别是椭圆的左、右顶点,过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点. (1)求椭圆的焦距和离心率; (2)若点落在以线段为直径的圆的外部,求的取值范围; (3)若,设直线分别交轴于点,求的取值范围. 21.(18分)若存在使得对任意恒成立,则称为函数在上的最大值点,记函数在上的所有最大值点所构成的集合为 (1)若,求集合; (2)若,求集合; (3)设为大于1的常数,若,证明,若集合中有且仅有两个元素,则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5. ; 6. ; 7. ; 8.; 9. ; 10.; 11. 12. 11.如图所示,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则此函数的解析式为_. 【答案】 【解析】设所求函数解析式为,由题意知图象经过点,故, 即 又图象过点和,则该函数为奇函数,故,所以, 代入点得, 由于该函数图象在点的切线平行于轴,则时,有(2), 联立(1)(2),解得故该三次函数的解析式为. 12.在空间直角坐标系中,定义点和点两点之间的“直角距离”.若和两点之间的距离是,则和两点之间的“直角距离”的取值范围是_. 【答案】 【解析】由几何意义,相当于是一个旋转的正方体,建立坐标系,易得最小值为,最大值为3。 二、选择题 13. B 14.A 15. B 16.C 15.设无穷数列的前项和为,若为严格增数列,则数列( ) A.所有项都大于0 B.至多有一项不大于0 C.可以有不止一项的有限项不大于0 D.可以有无穷多项不大于0 【答案】B 【解析】由为严格增数列,得对任意的,即,但第一项可以等于0 故选B 16.若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数的最大值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】C 【解析】考虑平面上3个点两两距离相等,构成等边三角形,成立; 4个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立,大于4,也不成立. 在空间中,4个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立; 若,由于任三点不共线, 当时,考虑四个点构成的正四面体,第五个点与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,由三角形的两边之和大于第三边,故不成立,同理时不成立.故选C. 三.解答题 17.(1) 证明略 (2) 18.(1) (2) 1