上海市浦东新区上海海事大学附属北蔡高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

北蔡中学2023学年第一学期高二年级数学期末 2024.01 一、填空题（每题3分，共36分） 1．若平面与平面平行，，，则直线a，b的位置关系为______． 2．若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为______． 3．若正四棱柱的底面边长为6，侧棱长为5，则此正四棱柱的体积为______． 4．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为，则该圆锥的体积等于______． 5．在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为_____． 6．设数列是等差数列，且，，是数列的前n项和，则当______时，取到最小值． 7．已知数列的前n项和，那么______． 8．函数的一个极值点为1，则的极大值是______． 9．在数列中，，，则______． 10．设数列的前n项和为，若，则______． 11．在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，则所得几何体的表面积为______． 12．定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是______． （1）在处取得极小值，极小值为； （2）只有一个零点 （3）若在上恒成立，则； （4） 二、单选题（每题3分，共12分） 13．棱长为2的正四面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 14．函数图象上点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 15．设m、n是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题有______个．（ ） （1）若，，，则；（2）若，，，则； （3）若，，，则；（4）若，，，，则； A．0 B．1 C．2 D．3 16．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：（1）；（2）；（3）；（4）．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 三、解答题 17．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，的中点为H． （1）求直线与平面所成角；（5分） （2）求点H到平面的距离．（3分） 18．己知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式；（6分） （2）求数列的前n项和；（4分） 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点M为线段PB中点，，． （1）证明：平面MAC；（4分） （2）求二面角的大小．（5分） 20．已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（6分） （2）设数列满足，为数列的前n项和， ①求数列的前n项和；（2分） ②若在，上恒成立，求的取值范围．（3分〉 21．记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． （1）判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”：若不存在，请说明理由；（4分） （2）若函数与存在“好点”，求实数a的值；（4分） （3）己知函数，，若存在实数，使函数与在区间上存在“好点”，求实数b的取值范围．（6分） 参考答案 一、填空题 1.平行或异面; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.4或5; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.(2)(3)(4). 11．在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，则所得几何体的表面积为______． 【答案】 【解析】图中阴影部分绕旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球,半球的表面积为, 圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的底面面积为, 圆柱的侧面积为,则所得几何体的表面积为. 故答案为:. 12．定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是______． （1）在处取得极小值，极小值为； （2）只有一个零点 （3）若在上恒成立，则； （4） 【答案】(2)(3)(4). 【解析】对于(1),因为,且,则 所以,故为常数, 则,解得,故, 所以,则, 当,即时,,则单调递增, 当,即时,, 当,即时,,则单调递减, 所以当时,取得极大值,极大值为,故选项(1)错误; 对于(2),当时,,当时,, 当时,,作出函数的大致图象如图所示, 由图象可知,只有一个零点,故选项(2)正确; 对于(3),要保证在上恒成立, 则在上恒成立, 因为,所以, 令,则,所以当时,, 当时,,则函数单调递增. 当时,,则函数单调递减, 所以当时，取得最大