上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高三上学期数学阶段测试二

上海交大附中2023学年第一学期高三年级数学阶段测二 2023.11 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知集合,则_. 2.若复数(为虚数单位),则_. 3.实数且,则函数的图像恒过定点_. 4.函数在处导数存在,若,则_. 5.函数的最小正周期是,则_. 6.已知为实数,,,则向量在向量方向上的投影向量为_. 7.如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为10公里,母线长为40公里,是母线上一点,且公里,为了发展旅游业,要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路,则这段铁路的长度为_公里. 8.直线与椭圆恒有公共点,则实数的取值范围是_. 9.已知,则_. (第7题图) (第10题图) 10.如图,已知正方形的边长为2,点为的中点.以为圆心,为半径,作弧交于点.若为劣弧上的动点,则的最小值为_. 11.若函数的最大值和最小值分别为,则函数图像的一个对称中心是_. 12.设实数满足,且的最大值为,则实常数_. 二、选择题(本题共有4题,满分18分,13、14每题4分,15、16每题5分) 13.“复数为纯虚数”是“”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.下列关于概率的命题,错误的是( ) A.对于任意事件,都有 B.必然事件的概率为1 C.如果事件与事件对立,那么一定有 D.若是一个随机试验中的两个事件,则 15.已知,将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,都有,则( ) A. B. C. D. 16.已知是定义在上不恒为0的函数,且对于任意的实数满足,,(为正整数),考察下列结论中,正确的个数为( ) ①;②为奇函数;③数列为等差数列:④数列为等比数列. A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题.(本大题共5小题,满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤) 17.(本题满分14分,其中小题(1)满分6分,小题(2)满分8分) 如图,在四棱锥中,底面是矩形,其中底面为的中点,为的中点. (1)证明:直线平面; (2)求点到平面的距离. 18.(本题满分14分,其中小题(1)满分6分,小题(2)满分8分) 已知. (1)求方程的实根; (2)若对于任意,不等式恒成立,求实数的最大值. 19.(本题满分14分,第(1)题满分6分,第(3)题满分8分) 某公园有一个半圆形荷花池(如图所示),为了让游客深入花丛中体验荷花美景,公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道,观景台在半圆形的中轴线上(如图,与直径垂直,与不重合),通过栈道把荷花池连接起来,使人行其中有置身花海之感.已知米,,栈道总长度为. (1)求关于的函数关系式. (2)栈道长度为多少时,栈道的总长度最小?并求出该最小值. 20.(本题满分18分,第(1)题满分4分,第(2)题满分6分,第(3)题满分8分) 已知椭圆的左右焦点分别为,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点,直线经过点,倾斜角为,与椭圆交于两点. (1)若,求椭圆方程; (2)对(1)中椭圆,求的面积; (3)是椭圆上任意一点,若存在实数,使得,试确定满足的等式关系. 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知,(为实常数). (1)若函数在处取极值,求此时函数的最小值; (2)若函数在区间上存在极值,求实数的取值范围; (3)设各项为正的无穷数列满足(为正整数),证明:. 参考答案 一、填空题 1.; 2. ; 3. ; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9. ; 10.; 11. 12. 11.若函数的最大值和最小值分别为,则函数图像的一个对称中心是_. 【答案】 【解析】函数. 令,则易得是奇函数,∴关于中心对称, 所以其最大值与最小值应满足. 可得函数. 令可得,当时,可得,此时, 故得一个对称中心为,故答案为:. 12.设实数满足,且的最大值为,则实常数_. 【答案】 【解析】当,时,曲线为椭圆在第一象限的图像; 当,时,曲线为双曲线在第四象限的图像; 当时,曲线为双曲线在第二象限的图像; 当时,原方程无实数解. 因为直线是双曲线和的渐近线. 令,则表示曲线上的点到直线的距离. 因为的最大值为,所以的最大值为. 由图知,曲线上到直线距离最大的点在椭圆上. 设椭圆上动点坐标为, 由点到直线的距离公式得. 因为,所以要想有最大值,直线需向上平移,使得平移后的直线与直线的距离为,即直线与直线的距离为,所以,解得,故答案为:. 二、选择题 13.A 14.D 15. C 16.D 15.已知,将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,都有,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【