2024年中考数学专题训练——圆的综合

2024年中考数学专题训练——圆的综合 1．如图，已知是⊙O的直径，⊙O经过的直角边上的点F，交边于点E，点F是弧的中点，，连接．    (1)求证：直线是⊙O切线． (2)若，求的值． 2．如图，已知是的直径，点C在上，连接，在的延长线上取一点P，使得，连接． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 3．如图，是的弦，过点作，交于，． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点是优弧上的一点，求的长． 4．如图，在中，，以边为直径作交于点D，过点D作于点E，、的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径与线段的长． 5．如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆于点，交于点，且． (1)判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论； (2)若，，求的长． 6．如图，在中，，以为直径的与边相交于点，与边相交于点，，垂足为点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 7．如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点，在直线上，且，垂足为，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 8．如图，是的直径，为的切线，切点为C，交的延长线于点A，点F是上的一点，且点C是弧的中点，连接并延长交的延长线于点B． (1)求证：； (2)若，，求⊙O的半径. 9．如图，是的直径，点是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，交于点，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)连接，若，，求的长． 10．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 (1)平行四边形于点E，若于点F，请用无刻度直尺在图1中作出符合题意的点F； (2)如图2，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们半径相等，在同一直线上．这个图形中的两个半圆是否成中心对称？如果是，请找出对称中心O．（尺规作图） 11．如图，以的边为直径作交于点，且是的中点，作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 12．如图，已知内接于，平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点、，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，圆的半径为10，求的长． 13．如图，在中，，C为上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的面积与的面积之比为，求的值． 14．如图，为的内接三角形，F为的内心，交于E，交于D，，． (1)求的长度； (2)若，求的长度． 15．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长； 16．如图，已知是的外接圆，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线． (1)求证：l是的切线； (2)连接，若，求的长． 17．如图，在中，，以为直径作，交AC于点D，点E是的中点，连接，，． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论． (2)若，，求． 1，AB是的直径，点D，F在上，，延长至点C，连接，交于点E，连接，． (1)证明：是⊙O的切线； (2)如图2，连接，G是的中点，连接，若，，求的值． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证即可求证； （2）证可求，由“平行线分线段成比例”可求，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图：    ∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F是弧的中点， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了切线的证明、求角的正切值、相似三角形的判定与性质．掌握相关知识点进行几何推导是解题关键． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据题意证明出，然后得到，进而得到，即可求解； （2）首先根据和求出，，然后利用求出，进而可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴直线BP是的切线 （2）在中，， 因为， 所以，则， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握相似三角形的性质和判定以及三角函数是解题的关键． 3．(1)见解析 (2) 【分析】(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据三角形的内角和得到，于是得到结论； (2)根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2），， ，， ， ； ， 的度数， 的长． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计算，圆周角定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键．