专题12 空间向量的坐标表示8种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题12 空间向量的坐标表示8种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、对空间向量基本定理的认识 考点二、用基底表示空间向量问题 考点三、空间向量基本定理的应用 考点四、空间向量坐标系与空间向量的坐标表示 考点五、空间向量数量积的坐标表示 考点六、空间向量平行、垂直的坐标表示 考点七、空间向量的夹角与长度的计算 考点八、空间向量投影的计算 一、空间向量基本定理 1、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. 2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么空间的每一个都可由向量线性表示，我们把称为空间的一个基底，都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 二、空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底， 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底， 通常用表示。 2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。 三、空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． (2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面． (3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直． (5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)． 四、空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 五、空间向量的坐标运算 (1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)a·a＝|a|2＝. 六、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos 〈a，b〉＝ cos 〈a，b〉＝ 七、空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 1、基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底； （2）判断基底时，常常依托于正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构成其他向量进行相关的判断、 2、用基底表示向量的步骤 （1）变基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果。 （3）下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量 3、建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜．向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． 4、向量平行与垂直问题的三种题型 题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断． 题型