专题19 离散型随机变量及其分布列11种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题19 离散型随机变量及其分布列11种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、随机变量与离散型随机变量 考点二、离散型随机变量的分布列的性质 考点三、求离散型随机变量的分布列 考点四、两点分布 考点五、超几何分布 考点六、二项分布 考点七、求离散型随机变量的均值 考点八、离散型随机变量均值的性质 考点九、求离散型随机变量的方差与标准差 考点十、离散型随机变量方差的性质 考点十一、均值与方差的综合应用 1、随机变量与离散型随机变量 （1）随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. （2）离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 【注意】离散型随机变量的特征： （1）可以用数值表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； （3）试验结果能一一列出． 2、离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质： ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 3、两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 注：两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 4、超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．即 X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 注：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： 1考察对象分两类； 2已知各类对象的个数； 3从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 5、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 6、离散型随机变量的均值 （1）定义：一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， …… …… 则称为随机变量的均值或数学期望，简称期望。 （2）意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，刻画的是取值的“中心位置”，反映或刻画了随机变量取值的平均水平。由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位。 （3）两点分布的均值：一般地，如果随机变量服从两点分布，那么（为成功概率） （4）离散型随机变量均值的性质：如果是一个离散型随机变量，（其中为常数）也是随机变量，则 7、离散型随机变量的方差与标准差 （1）定义：如果离散型随机变量的分布列如表所示， …… …… 则称为随机变量的方差，有时也记为，并称为标准差，记为。 在方差计算中，利用结论经常可以使计划简化。 （2）意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 （3）性质：，（C为常数） 注：对方差、标准差概念的几点说明 （1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的； （2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的的取值的稳定与波动、集中与分散程度；