北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷 高三数学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，且，则（ ） A B. C. D. 4. 已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴 B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心 C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴 D. 在上增函数，且曲线存在对称中心 8. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（ ） A. 47m B. 48m C. 49m D. 50m 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为_______.（用数字作答） 12. 设，函数.若曲线关于直线对称，则的一个取值为______. 13. 已知函数，则的定义域是________；的最小值是_______. 14. 已知抛物线：.①则的准线方程为_________；②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为_______. 15. 设，函数给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③当时，直线与曲线恰有3个交点； ④存在正数及点和，使. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数的一个零点为. （1）求的值及的最小正周期； （2）若对恒成立，求的最大值和的最小值. 17. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. （1）从该地区中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （3）记样本中中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，为中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求四面体的体积. 19. 已知椭圆：的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交于点（点与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程. 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由. 21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. （1）当，时，写出所有满足的数对序列； （2）当时，证明：； （3）当为奇数时，记的最大值为，求. 北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷 高三数学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】