6.2.3 向量的数乘运算（第一课时）（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.2.3向量的数乘运算 （第一课时） 复习导入 1. 向量加法三角形法则: 特点: 首尾连，连首尾 2. 向量加法平行四边形法则: 特点: 同起点，对角线 3.向量减法三角形法则: A O B 特点: 同起点，连终点，方向指向被减 探索新知 思考：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ P O C A B Q M N 的方向与的方向相反， 的长度是的长度的倍， 即 的方向与的方向相同， 的长度是的长度的倍， 即． 探索新知 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 若，则 一定成立吗？ 探索新知 问题1：如果把非零向量的长度伸长到原来的倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量、之间的关系怎样？ 几何意义：将沿着相同或相反方向伸长或压缩到原来的倍． 注： 向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与以及有关； 实数和向量可以相乘，但不能相加减，无意义； 和向量方向相同的单位向量是什么？ 探索新知 练习1：若任画一向量，分别求作向量， A C B M P N 变式1-1：点在线段上，且，且, 【答案】： ， A B C 探索新知 思考：数的乘法满足结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 设为实数，那么 你能证明这些运算律吗？ (1) (2) (3) 探索新知 证明:(1) (2)(3)的证明略. 证：当或或时，上式显然成立. 当或或时，由向量数乘运算的定义，得： ， 所以. 例 探索新知 特别地，我们有： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有 . 辨析：判断正误. 1.若，则与共线. ( ) 2.若则. ( ) 3.. ( ) √ × × 练习巩固 例5：计算： (1)； (2) (3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 注：由此，我们发现向量与实数之间可以象多项式一样进行运算. 练习巩固 练习2：(1)若向量，，则. (2)若，其中为已知向量，则向量. 【答案】：(1)；(2). 解析：(1) (2)有题知， ∴∴. 练习巩固 例6：如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和. 解：在□中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得： 练习巩固 练习1：如图，四边形是以，为邻边的平行四边形，已知，，对角线交于点，又，，试用向量表示，. 解：∵∴ ∴ ∵∴ ∴. 小结 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，方向相同；当时，方向相反. 结合律 第一分配律 第二分配律 特别地，有 $$