北京市西城区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷 高一数学 2024.1 本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，那么 （A） （B） （C） （D） （2）已知命题，则为 （A）， （B）， （C）， （D）， （3）如图，在正六边形中， （A） （B） （C） （D） （4）若，则 （A） （B） （C） （D） （5）已知，则函数的最小值为 （A） （B） （C） （D） （6）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （A） （B） （C） （D） （7）已知，，则 （A） （B） （C） （D） （8）已知集合，，若，且，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （9）已知为非零向量，且，，则“”是“存在实数，使得”成立的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示： 其中， 而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则 （参考数据：） （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）函数的定义域是_____． （12）下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近5场比赛中的得分， 甲 乙 9 7 0 8 2 1 1 0 1 1 5 5 2 则甲得分的中位数是_____，乙得分的方差为_____． （13）已知为一组不共线的向量，且向量，，能使得的一组实数的值可以为_____，_____. （14）函数若，则的值为_____；若有两个零点，则的取值范围是_____. （15）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则. 其中所有正确结论的序号是_____. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知函数. （Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）用函数单调性定义证明：函数在上是减函数； （Ⅲ）写出函数的值域（结论不要求证明）. （17）（本小题13分） 每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为［6, 7），［7, 8），［8, 9），［9, 10），［10, 11］，单位：小时）. （Ⅰ）求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； （Ⅱ）从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. （18）（本小题14分） 已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）已知函数有两个不同的正数零点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 条件①：； 条件②：，； 条件③：，. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. （19）（本小题15分） 2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 运行列数