专题11 余弦定理（6大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题11 余弦定理 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 余弦定理 1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 【注意】余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、余弦定理推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 知识点2 解三角形 1、解三角形定义：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 3、判断三角形形状时常用到的结论 （1）为直角三角形或或 （2）为锐角三角形，且，且 （3）为钝角三角形，且，且 （4）若，则或 · 考点剖析 考点1 已知两边及一角解三角形 【例1】（2023·陕西西安·高一阶段练习）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-1】（2023·江西萍乡·高一统考期中）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（ ） A．1 B．2 C．1或2 D． 【变式1-2】（2023·宁夏固原·高一校考期中）在中， ，则（ ） A．9 B． C． D．3 【变式1-3】（2023·山东青岛·高一校联考期中）在中，，则（ ） A． B． C． D． 考点2 已知三边解三角形 【例2】（2023·河北邢台·高一统考期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·江西·高一校联考期末）已知中角所对的边分别为，若，则 . 【变式2-3】（2023·海南·高一校考阶段练习）在中，，，，则最大角的余弦值为 . 考点3 求边或角的取值范围 【例3】（2023·四川成都·高一树德中学校考期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·全国·高一随堂练习）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角B的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点4 判断三角形形状 【例4】（2023·甘肃定西·高一临洮中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则是（ ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰不等边三角形 D．直角三角形 【变式4-1】（2023·重庆长寿·高一统考期末）在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式4-2】（2023·陕西宝鸡·高一统考期末）在中，角的对边分别为，且，则为（ ） A