第4讲 三角函数最值讲义-2024届高三数学一轮复习

三角函数求最值的七种类型 类型1. 与辅助角公式 1.辅助角公式: 形如的式子可做如下变换: --------(1) 令 (1)式=,其中. 例1．已知.求的单调递增区间. 例2．已知函数，其中，且． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 跟进训练： 1．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若为锐角，，求的值． 类型2.二次函数型 （1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值. （2）对于和的形式，也可转化为二次函数来求解. 例3．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 跟进训练： （2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的最大值为1，最小值为 C．函数的图像在区间上单调递减 D．函数的图像关于对称 类型3. 如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值. 例4．已知函数，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 跟进训练： 1．（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ） A．为的一个周期 B．的值域为[－1，1] C．的图象关于直线x＝0对称 D．曲线在点处的切线斜率为 类型4.分式型 其中同名函数利用分离常数法，形如 非同名函数利用数形结合的方法，形如利用单位圆与直线相交相切来解决最值问题. 例5.求值域。 例6.求函数的最大值和最小值。 跟进训练： 求函数的值域. 类型5.三次函数 （1）形如：等均为三次函数. （2）三倍角结构 这类函数虽然最后是借助导数来实现，但它的转化方向是一致的，结果就是三次函数！ 例7．已知函数，则函数的最大值为_____. 例8．函数的值域为____________． 跟进训练： 函数在上的最大值为______. 类型6.导数型 例9．（2018全国1卷）已知函数，则的最小值是__________． 例10．已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．的最大值为 D．在区间在上单调递减 跟进训练： 1．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的周期为 B．函数图象关于直线对称 C．函数在上递增 D．函数的最大值为1 2．（2023·湖北武汉·统考三模）已知函数，，则函数的最小值为______. 类型7. 三角换元 例12．（1）求函数的值域. （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）已知，求的最值 解析 （1）可化为 ， 令， 则， ， ，∴, 故函数的值域为. 本题可以用柯西不等式求最大值，但最小值没法求. （2）函数的定义域为，令，． 则． 由于，． 而当时，为减函数，此时， 当时，为增函数，此时． 故函数的值域为． （3）解法一： ，可设． 则． 设，则，从而． （其中，）． ，，，且，， ，故函数的值域为． 解法二： 由解法一得， 则为与点连线的斜率． 设过点的直线方程为，即，显然， 点在半圆上， 当直线与半圆，相切时，，解得， 数形结合易得，即．． 故函数的值域为． （4）令，，则． 又． 当，时，； 当，时，． 跟进训练： 1.求函数的最大值和最小值； 解析由于，故可令． 则原式变为． ， 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值． 2. 求函数 的最值. 解析 因为，令, 故， 由于，故， 即函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数求最值的七种类型 类型1. 与辅助角公式 1.辅助角公式: 形如的式子可做如下变换: --------(1) 令 (1)式=,其中. 例1．已知.求的单调递增区间. 解析：化简得 ， 令，，解得， 所以单调递增区间为，. 例2．已知函数，其中，且． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 解析：，，，解得：，又，，；令，解得：，的单调递增区间为； （2）. 跟进训练： 1．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若为锐角，，求的值． 解析（1）由已知． 令，解得 故函数的单调递增区间为 （2）由，可得 所以，故， 所以函数在区间上的最大值为2，