专题2-1 复数的概念与四则运算17类题型-2023-2024学年高一下学期数学模型·方法·技巧专题突破（人教A版2019必修第二册）

专题2-1 复数的概念与四则运算17类题型 知识点梳理 题型一 复数的分类与辨析 题型二 复数的相等 题型三 复数的几何意义：复平面 题型四 共轭复数 题型五 复数的模的计算 题型六 复数的模与圆 题型七 复数的加、减运算 题型八 复数加、减法的几何意义的应用 题型九 复数的混合运算 题型十 待定系数法求复数 题型十一 复数运算与找规律 题型十二 根据复数的四则运算结果求参数 题型十三 根据复数的四则运算结果求复数特征 题型十四 复数范围内分解因式 题型十五 复数范围内方程的根 题型十六 欧拉公式 题型十七 辐角问题 知识点梳理 1．复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 ①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． (2)对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1； ②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．复数加减法的几何意义 如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应． 3．规律方法 1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 3．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 4．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 5．|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆． 4．复数乘除运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤． (2)常用公式 ； ； ． 5．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程＋bx＋c＝0(a≠0，且a，b，c∈R)，则当＞0时，方程有两个不相等的实根 ，＝； 当＝0时，方程有两个相等的实根＝＝－； 当＜0时，方程有两个虚根＝，＝，且两个虚数根互为共轭复数． 题型一 复数的分类与辨析 【例题讲解】 1． 下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 2． 如果复数是纯虚数,则实数=   (    ) A． B． C． D． 【巩固练习】 3． 若复数是纯虚数，则实数的值是 . 4． 对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 5． 已知复数是纯虚数，则实数 ． 【答案】 【分析】由复数除法运算可化简得到复数，由纯虚数定义可构造方程求得. 【详解】， 又为纯虚数，，解得：. 题型二 复数的相等 【例题讲解】 6． 设，其中a，b是实数，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 7． 若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 8． 下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型三 复数的几何意义：复平面 【例题讲解】 9． 复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【巩固练习】 10． 已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11． 若复数z满足，则在复平面内对应的点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 题型四 共轭复数 【例题讲解】 12． 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则________ A． B． C． D． 【巩固练习】 13． 已知（，，i为虚数单位），复数，则（    ） A．2 B． C． D． 14． 复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 复数的模的计算 【例题讲解】 15． 在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（    ） A．3 B． C．2 D． 16． 设复数，满足，