知识必备05 反比例函数（知识清单+5种方法清单+2种易错清单+9个考试清单真题专练）-【口袋书】2024年中考数学一轮复习知识清单

知识必备05 反比例函数 反比例函数的概念及其图象、性质 易错分析与举例 1.反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) 例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数． 2.反比例函数的图象和性质 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k. 易错分析 （2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. k>0 图象经过第一、三象限 （x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. k<0 图象经过第二、四象限 （x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. 3.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在") 4.待定系数法 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可. 例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x. 反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 5.系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型： 易错分析 已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：或. 6.与一次函数的综合 （1）确定交点坐标： 【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD. 反比例函数的实际应用 7.一般步骤 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 方法1：反比例函数的图象和性质 一．选择题（共3小题） 1．（2023•天津）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】分别将点，，的坐标代入反比例函数的解析式求出，，，然后再比较它们的大小即可得出答案． 【解答】解：将，代入，得：，即：， 将，代入，得：，即：， 将，代入，得：，即：， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上． 2．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为，是的中点，，交于点，函数的图象过点．．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式　　 A． B． C． D． 【分析】先根据函数图象经过点和点，求出和，再由所得函数解析式即可解决问题． 【解答】解：由题知， ，，， 令直线的函数表达式为， 则， 解得， 所以． 又因为点为的中点， 所以， 同理可得，直线的函数解析式为， 由得， ， 则， 所以点坐标为． 将，两点坐标代入函数解析式得， ， 解得． 所以， 则， 将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个