精品解析：中学生标准学术能力诊断性测试（THUSSAT）2023-2024学年高三上学期1月诊断性测试数学试题

中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试 数学试卷 本试卷共150分，考试时间120分钟． 一、单项共选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，集合，，若，且所有元素和为12，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. i D. 4. 在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（ ） A B. C. D. 5. 设，若，则n＝（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 若不等式的解集为，则的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最大值是（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 24 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得0分． 9. 设为互不重合的平面，为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（） A. B. C. D. 的最大值为 11. 直线和将圆分成长度相等的四段弧，则的取值可以是（ ） A. B. 2 C. D. 3 12. 已知，且，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 8 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则___________． 14. 已知是椭圆的左、右焦点，是上一点，线段的中垂线过点，与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为___________． 15. 已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，动直线与函数的图象分别交于点，函数的图象在处的切线与函数的图象在处的切线相交于点，则面积的最小值是___________． 16. 对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 数列的前项和为，当时，． （1）求证：数列是等差数列，并求的表达式； （2）设，数列前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最小值． 18. 如图所示，在中，是上的点，． （1）若，求证：； （2）若，求面积的最大值． 19. 如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为． （1）若蚂蚁爬行次，求蚂蚁在下底面顶点的概率； （2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现次数为，求的分布列与数学期望． 20. 如图所示，已知是以为斜边等腰直角三角形，点是边的中点，点在边上，且．以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，连接． （1）若是线段的中点，求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 21. 如图所示，已知抛物线是抛物线与轴的交点，过点作斜率不为零的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，直线与直线交于点． （1）求的取值范围； （2）问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数有两个零点． （1）求实数的取值范围； （2）求证：； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试 数学试卷 本试卷共150分，考试时间120分钟． 一、单项共选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先确定集合中可能的元素，根据两集合中元素的和求出的值，再根据集合中元素的互异性取值. 【详解】集合中的元素可能为：，， 因为，. 若，则，，则，元素和不为12； 若，则，，则，元素和不为12； 当时，，因为中所有的元素和为12， 所以，解得或（舍去）. 综上：. 故选：A 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案. 【详解】若，则，则， 这与矛盾，所以， 对同时除以， 所以，则，， ……，， 上面的