空间向量及其应用 学案-2024届高三数学一轮复习

课型： 总第 课时 授课时间： 空间向量及其应用（1） 教学目标：空间向量及其应用。 教学重难点：应用空间向量解决平行、垂直、角距离问题。 教学过程： 1、 知识梳理 1．空间直角坐标系及有关概念 2．空间向量的有关概念 名称 概念 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量 共面向量 平行于 的向量 共线向 量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ ，x，y∈R 空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组(x，y，z)使得p＝ ； 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且 3.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； a⊥b⇔ (a，b为非零向量)； |a|2＝ (2)向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝ 向量差 a－b＝ 数量积 a·b＝ 共线 a∥b⇒ 垂直 a⊥b⇔ 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 4.直线的方向向量与平面的法向量 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 二、典例：1．如图所示，在三棱锥O－ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　) A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c) C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c) 3．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1) ；(2)；(3)＋. 课型： 总第 课时 授课时间： 空间向量及其应用（2）——空间角的求法 教学目标：空间向量及其应用。 教学重难点：应用空间向量解决求角问题。 教学过程： 一、知识梳理 1.异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0，π) 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ 2.直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. 3．二面角的求法 (1)如图①，AB，CD是二面角αlβ两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． （2）如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 二、典例分析 （一）求异面直线所成角 1、[四基自测5]在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是________．【一题两法】 2、[例1]正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则PB与AD1所成的角为(　　) （二）线面角 1、[例2]　(2020·山东卷节选)如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. 已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 2、 [课时练3]正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E，F，G，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为(　　) 3、[课时练4] 在直二面角α­l­β中，