精品解析：北京市房山区2024届高三上学期期末数学试题

房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷 高三数学 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，若复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且与的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的常数项是（ ） A B. C. D. 5. 已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相切，则实数（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 保护环境功在当代，利在千秋，良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线C：左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______. 12. 记为等差数列的前项和，已知，，则______. 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______. 14. 已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______. 15. 如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论： ①； ②平面； ③直线与直线所成角的范围是； ④点到平面的距离是. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，，，底面是正方形，，分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称. （1）求的值； （2）设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 18. 某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示. （1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率； （2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望； （3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）. 19. 设椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点是椭圆上的一个动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的4倍，求直线的方程. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数单调递增区间； （3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围. 21. 若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”. （1）若具有性质“”