江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题

江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高三上学期1月月考数学试卷 一、单选题（40分） 1．已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（    ） A． B． C． D． 2．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知圆与轴正半轴的交点为，从直线上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．函数  (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 5．数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线：，（如图所示），给出下列三个结论 ①曲线关于直线对称； ②曲线上任意一点到原点的距离都小于； ③曲线围成的图形的面积是. 其中，正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 6．如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即．那如何计算它的周长呢？这个问题也在约400年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长等于其短半轴长为半径的圆周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差．即．若一个椭圆的面积为，那么其周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在R上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D．    8．从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值约为（    ） A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53 二、多选题（20分） 9．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．成等差数列，公差为 C．取得最大值时 D．时，的最大值为33 10．已知函数，则所有正确的结论是（    ） A．函数是增函数 B．函数的值域为 C．曲线关于点对称 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 11．按先后顺序抛两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况，记事件A：第一次出现正面，事件：第二次出现反面，事件：两次都出现正面，事件：至少出现一次反面，则（    ） A．与对立 B．与互斥 C． D． 12．某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（    ） A．共有90种安排方法 B．甲连续两天值班的安排方法有30种 C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种 D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种 三、填空题（20分） 13．在首项为1的数列中，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为 ． 14．正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为 ． 15．为了测量水田两侧两点间的距离(如图所示)，某观测者在的同侧选定一点，测得，则两点间的距离为 . 16．若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 四、解答题（70分） 17．已知椭圆T：，其上焦点F与抛物线K：的焦点重合. (1)若过点F的直线交椭圆T于点A、B，同时交抛物线K于点C、D（如图1所示，点C在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：线段AC大于BD长度的大小； (2)若过点F的直线交椭圆T于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G（如图2所示），试求四边形AEBG面积的最小值. 18．在平面直角坐标系中，点D，E的坐标分别为，，是动点，且直线与直线的斜率之积等于. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设是曲线的左焦点，过点且斜率为正的直线与曲线相交于，两点，过A，B分别作直线的垂线与轴相交于M，N两点.若，求此时直线的斜率. 19．荆城小理论能力很强，计划高考后参加机动车驾驶证考试.了解到某平驾校学费4000元，包含各科目第一场考试费用（若第一场考试不合格，补考费需学