07 高考立体几何大题的常见题型及其策略-2024届高三数学寒假专题作业

2024届高三数学寒假专题7 7.高考立体几何大题的常见题型及其策略 班级___________ 姓名_____________学号______ 题型一、找“墙角”：需要证明三条线两两垂直 例1. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为 求A到平面的距离; 设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值. 题型二、造“墙角”：通过作辅助线并加以证明，“造出“墙角”，从而可以建系。 例2.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 例3. 如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为设M，N分别为AE，BC的中点. （1）证明：（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. 题型三、“暴力”建系：以底面两条相互垂直的线为x轴、y轴建系。 例4. 如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点． 1证明：平面； 2求直线与平面所成角的正弦值． 题型四、建系容易，难在正确写出点的坐标 例5.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，M，N分别为的中点， 证明：； 求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 例6. 如图，四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，， 求证：平面底面 若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度． 7.高考立体几何大题练习 1. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点. 求证：平面 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值。 条件①条件② 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 2.如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点. 证明：平面 若，，，求二面角正弦值. 3.如图，在三棱台中，，分别为上的点，平面平面ABED， 证明：平面平面EGH； 若，求二面角的大小． 4.如图1，在平面五边形中，为等腰直角三角形，，，，，点E，F分别为，的中点，将沿折到如图2的位置． （1）证明：平面； （2）若二面角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 5.如图所示，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，D，E分别为棱AB，的中点． （1）求证：平面； （2）若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离． 6. 如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，点M、N分别是和的中点，， （1）求证：平面；（2）求二面角的正切值． 参考答案 例1. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为 求A到平面的距离; 设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值. 【答案】 解：设A到平面的距离为d， 因为直三棱柱的体积为4，即可得， 故， 又， 解得，所以A到平面的距离为； 连接，因为直三棱柱中，， 故四边形为正方形，即， 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，因为平面，所以， 又因为，平面，且， 故平面，因为平面，则， 所以三条直线两两垂直， 故如图可以以B为原点建立空间直角坐标系， 设，，则， 由条件可得，解得， 则，，，，的中点， 所以，， 设平面ABD的一个法向量为， ，取， 同理可求得平面BCD的一个法向量为 所以，， 所以二面角的正弦值为  2.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】 解：证明：因为，O为BD的中点，所以， 又平面平面BCD，平面平面，平面BCD， 所以平面BCD，又平面BCD， 所以； 取OD的中点F，因为为正三角形，所以， 过O作与BC交于点M，则， 所以OM，OD，OA两两垂直， 以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，， 设，则， 因为平面BCD，故平面BCD的一个法向量为， 设平面BCE的法向量为， 又， 所以由，得， 令，则，，故， 因为二面角的大小为， 所以， 解得，所以， 又，所以， 故  例3. 如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为设M，N分别为AE，BC的中点. 证明： 求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为和都是直角梯形，，，， 所以，，二面角的平面角为 因为，所以平面， 因为平面，则， 又，，， 则是等边三角形， 因为为中点，所以， 又因为，， 所以平面， 故F． 解：由于平面，建系如图， 所以，，，，，则， ，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以，，， 设与平面所成角为， 则． 例4. 如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点． Ⅰ证明：平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】