高效作业二 空间向量的数量积运算-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业二　空间向量的数量积运算 １．空间向量的数量积 (１)定义及运算律 定义 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 数乘向量与数 量积的结合律 (λa)􀅰b＝　　　＝　　　　 (λ∈R) 交换律 　　　　　　　　　　　　 分配律 　　　　　　　　　　　　 (２)常用结论(a,b为非零向量) ①a⊥b⇔　　　　　　． ②a􀅰a＝　　　　　　　　＝　　　　． ③cos‹a,b›＝　　　　　　． ２．投影向量 在空间中,向量a向向量b 投影,可以先将 它们平移到同一个平面内,进而利用平面上 向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c ＝　　　　　　,则向量c称为向量a 在向 量b上的投影向量,同理向量b在向量a 上 的投影向量是　　　　　　． １．两个向量的数量积是数量,而不是向量,它 可以是正数、负数或零． ２．若a􀅰b＝０,则不一定有a⊥b,也可能a＝０ 或b＝０． １．已知a⊥b,|a|＝２,|b|＝３,且(３a＋２b) ⊥(λa－b),则λ等于 (　　) A．３２ B．－ ３ ２ C．±３２ D．１ ２．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线 的长都等于a,点E,F 分别是BC,AD 的中 点,则AE→􀅰AF→的值为 (　　) A．a２ B．１２a ２ C．１４a ２ D．３４a ２ ３．在棱长为a的正方体ABCDＧA１B１C１D１中, 向量BA１ →与向量AC→所成的角为 (　　) A．６０° B．１５０° C．９０° D．１２０° ４．(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA⊥平 面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下 列各组向量中,数量积一定为零的是 (　　) A．PC→与BD→ B．DA→与PB→ C．PD→与AB→ D．PA→与CD→ ５．如 图 所 示,在 平 行 六 面 体 ABCDＧA′B′C′D′中,AB＝１, AD＝２,AA′＝３,∠BAD＝９０°, ∠BAA′＝∠DAA′＝６０°,则AC′的长为(　　) A．１３ B．２３ C．３３ D．４３ ６．如图,四个棱长为１的 正方体排成一个正四棱 柱,AB 是一条侧棱,Pi (i＝１,２,􀆺,８)是上底 面上其余的八个点,则AB→􀅰AP→i(i＝１,２, 􀆺,８)的不同值的个数为 (　　) A．１ B．２ C．４ D．８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 ７．已知a,b是两个空间向量,若|a|＝２,|b|＝ ２,|a－b|＝ ７,则cos‹a,b›＝　　　　． ８．已知三棱锥AＧBCD 每条棱长都为１,点E,G分 别是AB,DC的中点,则GE→􀅰AC→＝　　　　． ９．如图所示,在一个直二面角 αＧABＧβ的棱上有两点A,B, AC,BD分别是这个二面角 的两个面内垂直于AB的线段,且AB＝４,AC ＝６,BD＝８,则CD的长为　　　　． １０．点P 是棱长为４的正四面体表面上的动 点,MN 是该四面体内切球的一条直径,则 PM→􀅰PN→的最大值是　　　　． １１．如图,三棱锥OＧABC 各 棱的棱长都是１,点D 是 棱AB 的中点,点E 在棱 OC 上,且OE→＝λOC→,记 OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c． (１)用向量a,b,c表示向量DE→; (２)求DE 的最小值． １２．如图,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等 于a,点 M,N 分别是边AB, CD 的中点． (１)求证:MN 为AB 和CD 的公垂线; (２)求MN 的长; (３)求异面直线 AN 与 MC 所成角的余 弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋