作业1 空间向量及其运算-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、选择题 1.化简-+所得的结果是 (　　) A. B. C.0 D. 2.已知点A的坐标为A(1,1,0),向量=(4,0,2),则点B的坐标为 (　　) A.(7,-1,4) B.(9,1,4) C.(3,1,1) D.(1,-1,1) 3.给出下列命题: ①若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=±b; ②若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ③在如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=; ④如图2所示,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与模相等的向量有3个. 其中正确命题的个数为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 5.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是 (　　) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列结论中正确的有 (　　) ①+与+是一对相反向量; ②-与-是一对相反向量; ③+++与+++是一对相反向量; ④-与-是一对相反向量. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.正方体ABCD-A'B'C'D' 中,<,>等于 (　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 8.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为 (　　) A.-6 B.6 C.3 D.-3 二、填空题 9.化简:(a+2b-3c)+5-3(a-2b+c)=　　　　.  10.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x=　　　　,y=　　　　.  11.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点. (1)化简--=　　　　;  (2)用,,表示,则=　　　　.  三、解答题 12.如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求: (1)·; (2)·; (3)·; (4)·. 13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求向量与的夹角的大小. 14.(多选)已知空间向量a=(1,1,-1),b=(-2,2,1),则下列结论正确的是 (　　) A.(b-2a)∥a B.|b|=|a| C.a与b夹角的余弦值为- D.a⊥(a+3b) 15.如图,在一个直二面角α-AB-β的棱上有两点A、B,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD=　　　　.  16.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方),则边BC上是否存在点Q,使⊥? 参 考 答 案 作业1　空间向量及其运算 1.C　-+=+=-=0,故选C. 2.B　设B(x,y,z),则(x-1,y-1,z)=(4,0,2), ∴解得∴点B的坐标为(9,1,4). 3.C　要保证两向量相等,则需模相等且方向相同,要保证两向量相反,则需模相等且方向相反,但①中仅给出向量a与b的模相等,所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量,故①错误;命题②是相等向量的传递性,显然正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量与的方向相同,模也相等,所以=,故③正确;在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与模相等的向量,包含相等向量和相反向量,结合平行六面体的性质,可知共有7个(,,,,,,),故④错误. 4.B　设BC边的中点为D,则=(+)=(-1,-2,2),所以||==3. 5.A　由+==+=,得=,故四边形ABCD为平行四边形,故选A. 6.C　∵O为正方体的中心,∴=-,=-,故+=-(+),同理可得+=-(+),故+++=-(+++),∴①③正确;∵-=,-=,∴-与-是两个相等的向量,∴②不正确;∵-=,-==-,∴-=-(-),∴④正确. 7.D　连接BD,A'D,因为B'D'∥BD,△A'BD为正三角形,所以∠A'BD=60°,由向量夹角的定义可知<,>=120°,即<,>=120°. 8.B　由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6. 9.a+b-c　解析:原式=a+b+c=a+b-c. 10.1　-1　解析:因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+λc, 所以解得 11.(1)　(2)++ 解析:(1)--=-(+)=-=+=. (2)∵==(+),∴=+=(+)+=++. 12.解:(1)·=·= ||||·cos<,>= cos 60°=. (2)·=·=||2=. (3)·=·= ||·||cos<,>= cos 120°=-. (4)·=·(-)= ·-·= ||||cos<,>-||||cos<,>= cos 60°-cos 60°=0. 13.解:方法一　连接AD1,CD1,因为=, 所以∠CAD1的大小就等于<,>. 因为△ACD1为等边三角形,所以∠CAD1=60°. 所以向量与的夹角的大小为60°. 方法二　设正方体的棱长为1,则||=,||=.·=(+)·(+)=(+)·(+)=·+||2+·+·=0+||2+0+0=||2=1. cos<,>===, 所以<,>=60°. 即向量与的夹角的大小为60°. 14.BCD　因为b-2a=(-4,0,3),a=(1,1,-1),所以≠≠,所以向量b-2a与a不共线,故A不正确;因为|a|=,|b|=3,所以|b|=|a|,故B正确;因为cos<a,b>==-,故C正确;因为a+3b=(-5,7,2),所以a·(a+3b)=-5+7-2=0,即a⊥(a+3b),故D正确.故选BCD. 15.2　解析:∵=++=-+, ∴=(-+)2=++-2·+2·-2·=16+36+64=116, ∴||=2. 16.解:假设存在点Q(点Q在边BC上),使⊥,即PQ⊥QD.连接AQ, 因为PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥QD. 又=+, 所以·=·+·=0. 又·=0,所以·=0,所以⊥. 即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为. 又AB=1, 所以当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意; 当>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意; 当<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意. 综上所述,当a≥2时,存在点Q,使⊥; 当0<a<2时,不存在点Q,使⊥. 学科网（北京）股份有限公司 $