作业(1) 空间向量及其运算-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教B版）

　 一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则 (　　) A.x=,y=1 B.x=,y=-4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 2.已知向量a=(0,1,0),b=(1,0,1),|λa+b|=,且λ>0,则λ= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是 (　　) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c 4.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,1,1),且a+b与ka-b互相垂直,则k的值是 (　　) A.1 B. C.-1 D. 5.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,{a+b,a-b,c}是空间向量的另一组基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为 (　　) A.(4,0,3) B.(1,2,3) C.(3,1,3) D.(2,1,3) 6.(核心素养·数学运算)已知a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是 (　　) A.(-∞,-4) B.(-4,0) C.(0,4) D.(4,+∞) 7.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||= (　　) A.5 B.6 C.4 D.8 8.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为正方体的棱AA1的中点,F为棱AB上的一点,若∠C1EF=90°,则点F的坐标为 (　　) A.(2,,0) B.(2,,0) C.(2,,0) D.(2,,0) 二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 9.如图,空间四边形ABCD的四条边及对角线的长度都是a,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,则a2= (　　) A.2· B.2· C.2· D.4· 10.下列命题中错误的是 (　　) A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件 B.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使得a=λb C.|a·b·c|≤|a|·|b|·|c| D.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}为空间向量的另一组基底 11.已知四面体OABC,则下列说法正确的是 (　　) A.若D为BC的中点,E为AD的中点,则=++ B.若四面体OABC是棱长为1的正四面体,则(+)·(+)=1 C.若A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,3),则向量在上的投影的数量是 D.已知a=-2+,b=-+3+2,c=-3+7,则向量a,b,c不可能共面 12.在四面体PABC中,下列说法正确的是 (　　) A.若=+,则=3 B.若点Q为△ABC的重心,则=++ C.若·=0,·=0,则·=0 D.若四面体PABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1 三、填空题:本题共4小题,将答案填在题中横线上. 13.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(5,-3,1)关于y轴的对称点的坐标为　　　　　　　　　　　　　.  14.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时,点Q的坐标是　　　　　.  15.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若直线CF上有一点N,使⊥,则=　　　　　　　　.  16.已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=,若空间向量b满足|b|=2,b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,f(x,y)=|b-(xe1+ye2)|,则f(x,y)的最小值为　　　　　,此时x+y=　　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3. (1)如图建立空间直角坐标系,写出,,的坐标; (2)求与所成角的余弦值. 18.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点,点F为BD1的中点. (1)求证:⊥且⊥; (2)求证:∥. 参 考 答 案 作业(一)　空间向量及其运算 1.B　解析:因为a=(1,2,-y),b=(x,1,2),所以a+2b=(1+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2y-2).又(a+2b)∥(2a-b),所以存在实数λ使得a+2b=λ(2a-b),即,解得λ=,x=,y=-4.故选B. 2.B　解析:由题意知|λa+b|==(λ>0),解得λ=2.故选B. 3.A　解析:=+=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.故选A. 4.B　解析:因为向量a=(2,1,0),b=(-1,1,1),所以a+b=(1,2,1),ka-b=(2k+1,k-1,-1).又因为a+b与ka-b互相垂直,所以(a+b)·(ka-b)=0,即1×(2k+1)+2×(k-1)+1×(-1)=0,解得k=,故选B. 5.C　解析:设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,整理得p=4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,∴,解得x=3,y=1,z=3,∴向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是(3,1,3).故选C. 6.A　解析:由题意,知a,b不共线,所以当a与b的夹角为钝角时,a·b<0,即3x+2(2-x)+0=4+x<0,解得x<-4,故选A. 7.A　解析:由平行六面体ABCD-A1B1C1D1可得=++,=+++2·+2·+2·=12+22+32+2cos60°(1×2+1×3+2×3)=25,∴||=5.故选A. 8.C　解析:由正方体的性质可得E(2,0,1),C1(0,2,2), 设F(2,y,0),则=(-2,2,1),=(0,y,-1). 因为∠C1EF=90°,所以·=2y-1=0, 解得y=,则点F的坐标为(2,,0),故选C. 9.BD　解析:因为2·=2a2cos120°=-a2,所以A错误;因为2·=2a2cos60°=a2,所以B正确;因为2·=2··=-a2,所以C错误;因为4·=2·=2a2cos60°=a2,所以D正确.故选BD. 10.AB　解析:对于A,当向量a,b同向时,|a|-|b|≠|a+b|,不满足必要性,∴A中命题错误;对于B,当b为零向量,a不是零向量时,不存在λ使等式成立,∴B中命题错误;对于C,∵|a·b·c|=|a|·|b|·|cos<a,b>|·|c|≤|a|·|b|·|c|,∴C中命题正确;对于D,用反证法,若{a+b,b+c,c+a}不是空间向量的一组基底,设a+b=x(b+c)+(1-x)·(c+a),整理得c=xa+(1-x)b,即a,b,c共面,与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,∴D中命题正确.故选AB. 11.ABC　解析:A中,=+=+=+(+)=+(-+-)=++,所以A正确.B中,(+)·(+)=·+·+·+·=1×1×cos60°+1×1×cos90°+1×1×cos90°+1×1×cos60°=1,所以B正确.C中,=(1,1,3),=(-1,2,0),所以向量在上的投影的数量为==,所以C正确.D中,假设向量a,b,c共面,则存在唯一的有序实数对(x,y)使a=xb+yc,所以-2+=x(-+3+2)+y(-3+7)=(-x-3y)+(3x+7y)+2x,所以,解得x=,y=-,所以向量a,b,c共面,所以D不正确.故选ABC. 12.ABC　解析:对于A,∵=+,∴3=+2,∴2-2=-,∴2=,∴3=+,即=3,故A正确;对于B,若点Q为△ABC的重心,则++=0,∴3+++=3,∴3=++,即=++,故B正确;对于C,若·=0,·=0,则·+·=0,∴·+·(+)=0,∴·+·-·=0, ∴(-)·+·=0,∴·+·=0,∴·+·=0,∴·(+)=0, ∴·=0,故C正确;对于D,∵=-=(+)-=(+-),∴||=|--|, ∵|--| = = =2,∴||=,故D错误.故选ABC. 13.(-5,-3,-1)　解析:点A(5,-3,1)关于y轴的对称点的坐标为(-5,-3,-1). 14.(,,)　解析:设=t,因为=(1,1,2),所以=(t,t,2t),所以点Q的坐标为(t,t,2t).又=(1-t,2-t,3-2t),=(2-t,1-t,2-2t),所以·=2(1-t)(2-t)+(3-2t)(2-2t)=6t2-16t+10,所以当t=时,·取最小值,此时点Q的坐标为(,,). 15.　解析:如图,设=m,由于=+,=+m,·=0,因此×1×1×(-)+4m=0,解得m=,所以=. 16.1　3　解析:∵e1·e2=|e1||e2|cos<e1,e2>=cos<e1,e2>=,∴<e1,e2>=.不妨设e1=(,,0),e2=(1,0,0),b=(m,n,t),由题意可知b·e1=m+n=2,b·e2=m=,∴m=,n=,b=(,,t),∵|b|=2,∴t2=1,∵b-(xe1+ye2)=(-x-y,-x,t),∴[f(x,y)]2=|b-(xe1+ye2)|2=(x+2y-5)2+(1-x)2+t2=(x+2y-5)2+(1-x)2+1,∴当x=1,y=2时,[f(x,y)]2取得最小值1,即f(x,y)的最小值为1,此时x+y=3. 17.解:(1)由题意可知,S(0,0,3),A(0,0,0),B(,1,0), C(0,2,0), 所以=(,1,0),=(,1,-3),=(0,2,-3). (2)由(1)知cos<,>===, 所以与所成角的余弦值为. 18.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,1,0),D1(1,0,2),F(,,1),C1(0,0,2),E(0,0,1),A(1,1,0). (1)由=(,,0),=(0,0,2),=(1,-1,2), 得·=0且·=0, 故⊥且⊥. (2)=(-1,-1,0), 由于=(,,0),显然=-, 故∥. 学科网（北京）股份有限公司 $