夯基专题1 不等式的综合问题 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

夯基专题1 不等式的综合问题 【核心知识】考向一 不等式的基本性质 考点一：两个实数比较大小的方法 1.作差法 ； 2.作商法. 考点二：不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数 强调： 1.倒数性质： ; 2.分数性质： 若，则 真分数性质： 假分数性质：. 考点三 判断不等式的常用方法 1.直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 2.利用特殊值法排除错误答案． 3.利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较． 【典例精讲】 例1.(2023·四川省成都市联考) 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 例2.(2023·江西省南昌市月考) 已知函数，则的值域是(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2023·江苏省苏州市月考) 已知数列的通项公式为，则当取得最大值时，           ． 练1-2(2023·江苏省南通市模拟)（多选） 设，为正实数，有下列命题中正确的命题为(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 考向二 利用基本不等式求最值 【核心知识】 基本不等式是解决最值、不等式证明、参数范围等问题的有效工具, 常与函数、立体几何、数列、圆锥曲线、不等式恒成立、平面向量、解三角形等内容综合考查.不等式变形灵活,本质就是搭建两个正数的“和”与“积”的关系.解题时可对题中的式子适当进行拼凑变形,使条件满足应用情境即可. 考点一：基本不等式及其他常用不等式 1.如果,则,当且仅当时等号成立. 2.如果,则. 3.如果,则. 4.如果,则,当且仅当时等号成立. 考点二：最值定理 1.已知都是正数,如果积等于定值,那么当时,和有最小值. 2.已知都是正数,如果和等于定值,那么当时,积有最大值. 强调： 1.运用基本不等式求最值时,注意前提条件,即“一正、二定、三相等”. 2.多次使用基本不等式求最值,注意等号成立的条件. 3.条件最值的求解通常借助：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 【典例精讲】  例3.(2023·辽宁省沈阳市月考)（多选） 已知，为正实数，且，则(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 例4. (2023·天津市市辖区月考) 若，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1(2023·安徽省六安市月考) 已知正三棱柱的各棱长均为，底面与底面的中心分别为、， 是线段上一动点，记三棱锥与三棱锥的体积分别为、，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 练2-2(2023·安徽省淮北市二模)（多选） 设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为上个世纪五十年代，美国数学家提出了“均值”，即，其中为有理数下列结论正确的有(    ) A. B. C. D. 【核心知识】考向三 不等式的恒成立问题 考点一 一元二次不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数恒成立或 2.不等式对任意实数恒成立或. 强调：一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 1.若在区间上恒成立，即区间是不等式的解集对应区间的的子区间， 故可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 2.转化为函数的最值问题， 若, 成立;若, 成立； 若,成立; 若, 成立； 3.变更主元：给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题. 4.分离变量：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围. (为参数)恒成立； (为参数)恒成立. 5.数形结合： 函数图象恒在函数图象上方； 函函数图象恒在函数图象下上方. 考点二 在给定区间上的恒成立问题 1.当时, 在上恒成立或或; 在上恒成立; 2. 当时, 在上恒成立; 在上恒成